1滋賀医科大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) $f''(x)=-1/x^2+2a$ であり、変曲点の $x$ 座標から $0=-2+2a$、従って $a=1$。また $f^{(3)}(x)=2/x^3>0$ なので、指定点で実際に凹凸が変わる。

(2) $f'(x)=(2x-1)(x-1)/x$ より、$0<x<1/2$ で増加、$1/2<x<1$ で減少、$x>1$ で増加する。極大値と極小値は $$\displaystyle M=f(1/2)=-\log2-\frac54,\qquad m=f(1)=-2.$$ $1/x$ は $1\le x\le2$ の範囲で凸で、両端を結ぶ直線より区間内部で下にあるから $$\displaystyle \log2=\int_1^2\frac{dx}{x}<\int_1^2\left(\frac32-\frac{x}{2}\right)dx=\frac34.$$ 従って $m<M$。また $\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}f(x)=-\infty$、$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=\infty$。これらの単調性と値域から、異なる正の実数解の個数は $$\begin{cases} 1,&k<-2\text{ または }k>M,\\ 2,&k=-2\text{ または }k=M,\\ 3,&-2<k<M. \end{cases}$$

(3) $1\le x\le2$ の範囲で $f$ は増加し、$f(2)=\log2-2<0$ だから $f(x)<0$。よって回転体の体積は $$\displaystyle V=\pi\int_1^2(\log x+x^2-3x)^2\,dx.$$ 被積分関数の原始関数の一つは $$\displaystyle F(x)=x((\log x)^2-2\log x+2)+\frac{x^5}{5}+3x^3+\frac23x^3\log x-\frac29x^3-3x^2\log x+\frac32x^2-\frac32x^4.$$ したがって $\displaystyle F(2)-F(1)=2(\log2)^2-\frac{32}{3}\log2+\frac{434}{45}$ であり、 $$\displaystyle V=\pi\left(2(\log2)^2-\frac{32}{3}\log2+\frac{434}{45}\right).$$

(1) 二階導関数から $a=1$. (2) 導関数の符号、極大値 $M=-\log2-5/4$, 極小値 $m=-2$, 端の極限で交点数を決める。 (3) $1\le x\le2$ の範囲で $f<0$ なので円板法を使い、$\displaystyle \pi\int_1^2 f(x)^2dx$ を積分する。