2滋賀医科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

接線の方程式は $y=2ax-a^2$、$y=2bx-b^2$ である。その交点と、そこから A、B へ向かうベクトルを求める。 $$\displaystyle C=\left(\frac{a+b}{2},ab\right),\qquad k=\frac{b-a}{2}>0,$$ $$\overrightarrow{CA}=-k(1,2a),\qquad \overrightarrow{CB}=k(1,2b).$$ (1) $b=-a$ を用いて内積と長さから余弦を計算する。 $$\displaystyle \cos\angle ACB=\frac{4a^2-1}{4a^2+1}=\frac12 \quad\text{ならば}\quad a^2=\frac34.$$ $a<b=-a$ より $\displaystyle a=-\frac{\sqrt3}{2}$。

(2) 上のベクトル表示が求めるものである。

(3) $\displaystyle -\frac\pi2<\theta_a,\theta_b<\frac\pi2$、$\tan\theta_a=2a$、$\tan\theta_b=2b$ を満たす角をとる。CA は方向 $(1,2a)$ と逆向きで、CB は $(1,2b)$ と同じ向きである。したがって、偏角差は $\angle ACB$ の補角である。 $$\displaystyle \theta_b-\theta_a=\frac{2\pi}{3},\qquad -\frac\pi2<\theta_a<\theta_b<\frac\pi2.$$ この範囲から $\displaystyle \theta_a<-\frac\pi6$、$\displaystyle \theta_b>\frac\pi6$ となるため、 $$\displaystyle a<-\frac{\sqrt3}{6},\qquad b>\frac{\sqrt3}{6}.$$

(4) 偏角差の正接を使う。 $$\displaystyle \frac{2(b-a)}{1+4ab}=\tan\frac{2\pi}{3}=-\sqrt3, \qquad b(2+4\sqrt3a)=2a-\sqrt3.$$ (3)より $2+4\sqrt3a<0$ なので、 $$\displaystyle b=\frac{2a-\sqrt3}{2+4\sqrt3a}.$$

接線の交点を求めれば、A,C,Bを結ぶベクトルは接線の方向ベクトル$(1,2a),\ (1,2b)$の正負倍となる。$a<b$より係数$\displaystyle k=\frac{b-a}{2}$は正。設問(1)では$b=-a$を代入して余弦を直接計算し、$a<b$から負の解を選ぶ。(3)では各接線方向の偏角を用いる。$\overrightarrow{CA}$ はA側へ向くため、偏角差は$\angle ACB$の補角$120^\circ$である。偏角がともに$(-90^\circ,90^\circ)$内にある条件から各不等式が出る。(4)では偏角差の正接を用い、(3)で分母が0でないことも確かめて解く。