4滋賀医科大学 2015年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad ab=6\text{ となる順序つきの出目は }(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)\text{ の4通り。確率は }\frac4{6^2}=\frac19.$$ $$\displaystyle \text{(2)}\quad d\ge2\text{ なら }f(d)=d(ad^2+bd+c)\text{ は合成数。よって }d=1\text{ が必要で、このとき }f(1)=a+b+c.\text{ 素数和 }3,5,7,11,13,17\text{ に対する }(a,b,c)\text{ の個数はそれぞれ }1,6,15,27,21,3\text{。したがって確率は }\frac{73}{6^4}=\frac{73}{1296}.$$ $$\text{(3)}\quad A=a-d,\ B=b-e,\ C=c-f\text{ とおくと、共有点は }Ax^2+Bx+C=0\text{ の実根に対応する。差 }t\text{（}\!-5\le t\le5\text{ を満たす整数）の出方は }w(t)=6-|t|\text{ 通り。}$$ $$\displaystyle A=0,\ B\ne0\text{ では一次方程式となり、通り数は }w(0)\left(\sum\limits _{B\ne0}w(B)\right)\left(\sum\limits _Cw(C)\right)=6\cdot30\cdot36=6480.$$ $$A\ne0\text{ では判別式 }B^2-4AC=0\text{ が必要十分。}\quad B=0:\ 30\cdot6\cdot6=1080;\quad B=\pm2:\ 2\cdot4\cdot50=400;\quad B=\pm4:\ 2\cdot2\cdot72=288.$$ $$\displaystyle \text{したがって有利な通り数は }6480+1080+400+288=8248\text{、確率は }\frac{8248}{6^6}=\frac{1031}{5832}.$$

(1) ab=6となる順序付きの出目は4通りで、全36通り中4通り。よって1/9。(2) d≧2なら f(d)=d(ad²+bd+c) は d>1 かつ括弧内>1なので合成数。d=1の場合に限り、f(1)=a+b+cが素数となる。3個のさいころの和が素数となるのは和3,5,7,11,13,17で、対応する順序付き三つ組の数は1,6,15,27,21,3、計73通り。4回の全出目6^4通り中73通りだから73/1296。(3) A=a−d,B=b−e,C=c−fとすると二放物線の共有点は Ax²+Bx+C=0 の実根に対応する。差 t の出方は w(t)=6−|t|。A=0,B≠0の一次式は常に実根1つで、重み付き通り数は6・30・36=6480。A≠0では判別式B²−4AC=0が必要十分。Bは偶数で、B=0ならC=0で寄与1080、B=±2ならAC=1の重み和50で寄与400、B=±4ならAC=4の重み和72で寄与288。合計8248通り。全6^6=46656通りなので確率8248/46656=1031/5832。