2熊本大学 2014年 数学 第2問解答・解説

問1. $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ とし、$x=\tan\theta>0$ とおく。条件式の右辺は正なので $\cos\theta-\sin\theta>0$、従って $x<1$ である。逆に $0<x<1$ はこの範囲の角に対応する。

$\displaystyle \cos\theta=\frac1{\sqrt{1+x^2}}$、$\displaystyle \sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ を代入すると、条件式は $$\displaystyle a=\phi(x):=\frac{(1-x)\sqrt{1+x^2}}x,\qquad 0<x<1$$ と同値である。ここで $$\displaystyle \frac{\phi'(x)}{\phi(x)}=-\frac1{1-x}+\frac{x}{1+x^2}-\frac1x =-\frac1{x(1-x)}+\frac{x}{1+x^2}<0,$$ 最後の不等式は通分した分子が $-1-x^3<0$ となることから従う。よって $\phi$ はxが大きくなると必ず小さくなり、$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}\phi(x)=+\infty$、$\displaystyle \lim\limits _{x\to1-}\phi(x)=0$。中間値の定理より任意の $a>0$ に対して $\phi(x)=a$ は $0<x<1$ の範囲にただ1つ解をもつ。従って問1が示された。

問2. $\displaystyle \frac\pi2<\theta<\pi$ では $x=-\tan\theta>0$ とおく。すると $\displaystyle \sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$、$\displaystyle \cos\theta=-\frac1{\sqrt{1+x^2}}$ なので、条件式は $$\displaystyle a=\psi(x):=\frac{(1+x)\sqrt{1+x^2}}x,\qquad x>0$$ と同値である。対数微分から $$\displaystyle \frac{\psi'(x)}{\psi(x)}=\frac1{1+x}+\frac{x}{1+x^2}-\frac1x =\frac{x^3-1}{x(1+x)(1+x^2)}.$$ 従って $\psi$ は $0<x<1$ で減少し、$x>1$ で増加する。最小値は $\psi(1)=2\sqrt2$ であり、$x\to0+$ および $x\to\infty$ の両端で $\psi(x)\to+\infty$。従って第2象限内の解の個数は、$a<2\sqrt2$ なら0個、$a=2\sqrt2$ なら1個、$a>2\sqrt2$ なら2個である。

$\displaystyle \theta=\frac\pi2$ では左辺が $-1$、右辺が $0$ なので解ではない。以上から全体の解の個数は $$\boxed{\begin{cases} 1&(0<a<2\sqrt2),\\ 2&(a=2\sqrt2),\\ 3&(a>2\sqrt2). \end{cases}}$$

まず $0<\theta<\pi/2$ とする。このとき $x=\tan\theta>0$ とおくと、条件式の右辺は正だから $\cos\theta-\sin\theta>0$、したがって $x<1$ である。逆に $0<x<1$ はこの範囲の角に対応する。

$\cos\theta=1/\sqrt{1+x^2}$、$\sin\theta=x/\sqrt{1+x^2}$ を代入すると $$\displaystyle a=\phi(x):=\frac{(1-x)\sqrt{1+x^2}}{x},\qquad 0<x<1.$$ ここで $$\displaystyle \frac{\phi'(x)}{\phi(x)}=-\frac1{1-x}+\frac{x}{1+x^2}-\frac1x= -\frac1{x(1-x)}+\frac{x}{1+x^2}<0,$$ 最後の不等式は分母を払った分子が $-1-x^3<0$ となることから従う。よって $\phi$ はxが大きくなると必ず小さくなり、$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}\phi(x)=+\infty$、$\displaystyle \lim\limits _{x\to1-}\phi(x)=0$。中間値の定理より任意の $a>0$ に対し $\phi(x)=a$ は $0<x<1$ の範囲にただ1つ解をもつ。これに対応する $\theta=\arctan x$ も $0<\theta<\pi/2$ の範囲にただ1つである。

次に $\pi/2<\theta<\pi$ では $x=-\tan\theta>0$ とおく。すると $\sin\theta=x/\sqrt{1+x^2}$、$\cos\theta=-1/\sqrt{1+x^2}$ なので、条件式は $$\displaystyle a=\psi(x):=\frac{(1+x)\sqrt{1+x^2}}{x},\qquad x>0$$ と同値である。対数微分すると $$\displaystyle \frac{\psi'(x)}{\psi(x)}=\frac1{1+x}+\frac{x}{1+x^2}-\frac1x=\frac{x^3-1}{x(1+x)(1+x^2)}.$$ 従って $\psi$ は $0<x<1$ で減少し、$x>1$ で増加し、最小値は $\psi(1)=2\sqrt2$。また両端で $\psi(x)\to+\infty$（$x\to0+$ および $x\to\infty$）である。従って第2象限内の解の個数は、$a<2\sqrt2$ なら0個、$a=2\sqrt2$ なら1個、$a>2\sqrt2$ なら2個である。

$\theta=\pi/2$ では左辺が $-1$、右辺が0なので解ではない。以上から全体の解の個数は $$\boxed{\begin{cases}1&(0<a<2\sqrt2),\\2&(a=2\sqrt2),\\3&(a>2\sqrt2).\end{cases}}$$