3熊本大学 2014年 数学 第3問解答・解説

問1. $\displaystyle \varphi(x)=\dfrac{\log x}{x}$ とおくと $$\displaystyle \varphi'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}$$ より最大値は $x=e$ における $1/e$。したがって左辺は $3/e$ 以下である。与えられた $e>2.7$、$\log2>0.6$ を用いると $$\displaystyle \frac3e<\frac{10}{9}<\frac65<2\log2=\log4$$ なので示された。

問2. $a,b,c$ は正整数であり、元の等式の両辺の $abc$ 乗根をとると $$d=a^{1/a}b^{1/b}c^{1/c}.$$ 正整数 $m$ に対して $m^{1/m}$ は $m=3$ で最大の $3^{1/3}$ となる。よって $d\le3$。条件 $d\ge3$ と合わせて $d=3$ であり、各因子が上限に達するため $a=b=c=3$。代入すると両辺は $3^{27}$ である。

問1では $\displaystyle \varphi(x)=\frac{\log x}{x}$ とおく。$\displaystyle \varphi'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}$ より最大値は $x=e$ で $1/e$。したがって左辺は $3/e$ 以下である。与えられた $e>2.7$ から $\displaystyle \frac3e<\frac{10}{9}$、$\log2>0.6$ から $\displaystyle \log4>\frac65$ であり、$\displaystyle \frac{10}{9}<\frac65$ より$\text{左辺}<\log4$。問2は $a,b,c$ が正整数なので両辺の $abc$ 乗根をとり $d=a^{1/a}b^{1/b}c^{1/c}$ を得る。$\displaystyle \varphi(x)=\frac{\log x}{x}$ は e まで増加し、その後減少するため、正整数 $m$ について $m^{1/m}$ は $m=3$ で最大の $3^{1/3}$。よって $d\le3$。$d\ge3$ なので $d=3$であり、三因子それぞれが最大値を取る必要があるから $a=b=c=3$。代入すると両辺は$3^{27}$となり条件を満たす。