3大阪大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1)　 f(x)=(N-x)$\log$ x (1$\le$ x$\le$ N) とおくと、$$\displaystyle f'(x)=\frac{N}{x}-1-\log x,\qquad f''(x)=-\frac{N}{x^2}-\frac1x<0.$$したがって曲線は区間全体で厳密に上に凸であり、$f'$ は減少し、$x_1<x_2$ ならば $f'(x_1)>f'(x_2)$ が成り立つ。また、$$f'(1)=N-1>0,\qquad f'(N)=-\log N<0.$$よって中間値の定理とこの減少の性質から、$f'(c)=0$ を満たす$1<c<N$ の範囲の $c$がただ1つ存在する。$1\le x<c$ では$f'(x)>0$、$c<x\le N$ では$f'(x)<0$ だから、$f$ は$1\le x\le c$で増加し$c\le x\le N$で減少する。ゆえに極大値はただ1つである。

(2)　 各$n=1,2,\ldots,N$について$$\log a_n=\log n^{N-n}=(N-n)\log n=f(n).$$対数関数は、$0<u<v$ ならば $\log u<\log v$ を満たすので、$a_n$が最大となる整数$n$は、$f(n)$が最大となる整数$n$と一致する。$f$ は厳密に上に凸である。もし最大値を与える整数が3個以上あれば、そのうち最小のものを$r$、最大のものを$s$とすると、両者の間にある最大値を与える整数$t$について$r<t<s$となる。グラフが両端を結ぶ線分より上にある性質から$$\displaystyle f(t)>\frac{s-t}{s-r}f(r)+\frac{t-r}{s-r}f(s).$$右辺は最大値と等しいため、これは矛盾である。したがって$k\le2$。

(3)　 $N=2$なら$a_1=1$、$a_2=2^0=1$であるから$k=2$である。逆に$k=2$とする。最大値を与える2つの整数を$r<s$とする。もし$s-r\ge2$なら、整数$t=r+1$は$r<t<s$を満たす。$f$ のグラフが両端を結ぶ線分より上にある性質により$f(t)>f(r)=f(s)$となり、$t$も整数であることに反する。よって2つの整数は隣り合い、$m,m+1$と書ける。最大値が等しいので$$m^{N-m}=(m+1)^{N-m-1}.$$もし$m\ge2$なら、$m$と$m+1$は互いに素だから、左辺と右辺も互いに素である。等しい正整数が互いに素ならその値は1だが、左辺は$m^{N-m}\ge m\ge2$であり矛盾する。したがって$m=1$。このとき等式は$1=2^{N-2}$となるので$N=2$である。以上から$k=2$となるのは$N=2$のときに限る。