1熊本大学 2014年 数学 第1問解答・解説

正四面体より $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$、$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\frac12$。また $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=(1-t)\vec b+t\vec c,\qquad \overrightarrow{OP}=\frac12\vec a.$$ $M=x\vec b$ とおく。直線 $OB$ への $P,Q$ の射影の座標はそれぞれ $\displaystyle \frac14, 1-\frac t2$ で、射影からの距離はそれぞれ $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4},\frac{\sqrt3t}{2}$ である。したがって $PM+MQ$ は、横軸上の折れ点を通る2距離の和であり、片方を横軸に関して反転して直線化すると最小点の座標は $$\displaystyle x=\frac{\frac{\sqrt3t}{2}\cdot\frac14+\frac{\sqrt3}{4}\left(1-\frac t2\right)}{\frac{\sqrt3t}{2}+\frac{\sqrt3}{4}}=\frac1{1+2t}.$$ 同様に $OC$ へ射影すると、$P,Q$ の射影座標は $\displaystyle \frac14,\frac{1+t}{2}$、距離は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4},\frac{\sqrt3(1-t)}2$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac1{1+2t}\vec b,\qquad \overrightarrow{ON}=\frac1{3-2t}\vec c.$$ $0<t<1$ では係数 $1/(1+2t),1/(3-2t)$ はいずれも0以上1以下である。

$\displaystyle Q-M=((1-t)-\frac1{1+2t})\vec b+t\vec c$、$\displaystyle Q-N=(1-t)\vec b+(t-\frac1{3-2t})\vec c$。2組の係数の積の差を計算すると $$\displaystyle \left(1-t-\frac1{1+2t}\right)\left(t-\frac1{3-2t}\right)-t(1-t)=-\frac{4t(1-t)}{(1+2t)(3-2t)}.$$ $\vec b,\vec c$ は長さ1でなす角が $60^\circ$ である。一般に、$\vec u=p\vec b+q\vec c$、$\vec v=r\vec b+s\vec c$ とすると、内積を展開して $\displaystyle |\vec u|^2|\vec v|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2=\frac34(ps-qr)^2$ となる。2辺のなす角の正弦を用いた三角形の面積公式により、面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}|ps-qr|$ である。したがって $$\displaystyle [\triangle QMN]=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{4t(1-t)}{(1+2t)(3-2t)}=\frac{\sqrt3t(1-t)}{(1+2t)(3-2t)}.$$ $\displaystyle g(t)=\frac{t(1-t)}{(1+2t)(3-2t)}$ とおくと $$\displaystyle g'(t)=\frac{3(1-2t)}{(3+4t-4t^2)^2}.$$ したがって $g$ は $\displaystyle t=\frac12$ で最大となり、最大面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{16}$。

正四面体なので各辺ベクトルの内積は$\displaystyle \frac12$である。OBを横軸とみると、Pの射影座標と高さは$\displaystyle \frac14$、$\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}$、Qの射影座標と高さは$\displaystyle 1-\frac t2$、$\displaystyle \frac{\sqrt3t}{2}$となる。経路長の和は、片方を軸の反対側へ反射して直線に置き換えると最小化でき、その交点の横座標から $\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac1{1+2t}\vec b$ を得る。OCについて同じ計算を行い、Qの射影座標 $\displaystyle \frac{1+t}{2}$、高さ $\displaystyle \frac{\sqrt3(1-t)}2$ を使うと $\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac1{3-2t}\vec c$ となる。いずれの係数も $0<t<1$ で線分の範囲内にあり、最小点の定義に合う。$\overrightarrow{QM}$ と $\overrightarrow{QN}$ を b,c の係数で表し、2組の係数の積の差を取ると、その絶対値は $\displaystyle \frac{4t(1-t)}{(1+2t)(3-2t)}$。b と c のなす角は$60^\circ$だから、三角形の面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3t(1-t)}{(1+2t)(3-2t)}$。その t 依存部分の導関数は $\displaystyle \frac{3(1-2t)}{(3+4t-4t^2)^2}$ で、$0<t<1$ における最大は $\displaystyle t=\frac12$ のときである。よって最大面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{16}$。