4熊本大学 2014年 数学 第4問解答・解説

大問4。$D=\sqrt{a^2-4}$ とおき、$u=\tan x$ とする。$0<x<\pi/2$ では $u>0$ であり、$\sin x\cos x=u/(1+u^2)$ だから、交点では $$\displaystyle u+\frac1u=a,\qquad u^2-au+1=0.$$ よって $\tan\alpha=u_-=(a-D)/2$、$\tan\beta=u_+=(a+D)/2$（$u_-<u_+$）。また $u_-u_+=1$。

(問2) 曲線は正なので面積は $$\displaystyle S=\int_\alpha^\beta\frac{dx}{\sin x\cos x} =\left[\ln(\tan x)\right]_\alpha^\beta =\ln\frac{u_+}{u_-} =2\ln\frac{a+D}{2}.$$ 最後の等号には $u_-=1/u_+$ を用いた。

(問3) 円板法と同じ置換 $u=\tan x$（$dx=du/(1+u^2)$）を用いると $$\displaystyle V=\pi\int_\alpha^\beta\frac{dx}{\sin^2x\cos^2x} =\pi\int_{u_-}^{u_+}\frac{1+u^2}{u^2}\,du =\pi\left[u-\frac1u\right]_{u_-}^{u_+}.$$ $u_-u_+=1$ よりこの値は $2\pi(u_+-u_-)=2\pi D$。したがって $V=2\pi\sqrt{a^2-4}$。