1大阪大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle u=\log(1+x)-x+\frac{x^2}{2}$ とおくと $u(0)=0$,$\displaystyle u'(x)=\frac{x^2}{1+x}>0$ なので下側の不等式。$\displaystyle v=\frac{x}{\sqrt{1+x}}-\log(1+x)$ とおくと $v(0)=0$、$\displaystyle v'(x)=\frac{(\sqrt{1+x}-1)^2}{2(1+x)^{3/2}}>0$ なので上側。(2) $\displaystyle \log(1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}<x$ より $y>0$。微分すると $\displaystyle y'=\frac1{x^2}-\frac1{(1+x)\{\log(1+x)\}^2}<0$。最後の不等号は(1)の上側から従う。$0<x<2$では(1)を用いて $\displaystyle \frac1{\sqrt{1+x}+1}<y<\frac1{2-x}$。両端の極限から $x\to0+$ で $\displaystyle y\to\frac12$。$x\to\infty$では両項が0に近づくので $y\to0$。yは連続で、xが大きくなると値が必ず小さくなり、両端値は取られないから値域は $0<y<1/2$。