4愛媛大学 2002年 数学 第4問解答・解説

$a\ne0$ とする。$\displaystyle Q(t)=-\frac{t\cos(\pi t)}{\pi}+\frac{\sin(\pi t)}{\pi^2}$ とおくと、$Q'(t)=t\sin(\pi t)$ であり、Qは奇関数である。また $-a\sin(\pi t)$ も奇関数だから $$\displaystyle \int_{-x}^{x}(t-a)\sin(\pi t)\,dt=Q(x)-Q(-x)=2Q(x)=-\frac{2x\cos(\pi x)}{\pi}+\frac{2\sin(\pi x)}{\pi^2}.$$ 従って $$\displaystyle f(x)=\left(x^2+a^2-\frac2{\pi^2}\right)\sin(\pi x)+\frac{2x}{\pi}\cos(\pi x).$$

(1)　 積の微分法から $$\displaystyle \begin{aligned}f'(x)&=2x\sin(\pi x)+\pi\left(x^2+a^2-\frac2{\pi^2}\right)\cos(\pi x)+\frac2\pi\cos(\pi x)-2x\sin(\pi x)\\&=\pi(x^2+a^2)\cos(\pi x).\end{aligned}$$

(2)　 f(x)のaによる変化は $a^2\sin(\pi x)$ の項だけである。全ての $a\ne0$ について同じ点を通るには $\sin(\pi x)=0$、すなわち $x=n\ (n\text{ は整数})$ が必要である。このとき $$\displaystyle f(n)=\frac{2n}{\pi}\cos(\pi n)=\frac{2n(-1)^n}{\pi}.$$ 従って定点は $\displaystyle \left(n,\frac{2n(-1)^n}{\pi}\right)\ (n\text{ は整数})$。

(3)　 整数nについて $f(n)=2n(-1)^n/\pi$。また $x^2+a^2>0$ なので、$f'(x)$ の符号は $\cos(\pi x)$ の符号と一致する。整数mに対し $\displaystyle c=m+\frac12$、$s=(-1)^m$ と置くと、$m<x<c$ では $f'$ の符号がs、$c<x<m+1$ では $-s$ である。

m≧1のとき、$f(m)$ は符号s、$f(m+1)$ は符号−sである。最初の半区間ではfは符号sの向きに単調に動くため零にならず、$f(c)$ も符号sである。後半ではf′が0にならず符号が一定で、fの符号がsから−sへ変わるので、零点はただ1つ。

m≦−2のとき、$f(m)$ は符号−s、$f(m+1)$ は符号sである。後半区間の単調性と終点値から、$f(c)$ も符号sであり、後半には零点がない。前半ではf′が0にならず符号が一定で、fの符号が−sからsへ変わるため、零点はただ1つ。

m=−1では $f(−1)=2/\pi>0$。$−1/2<x<0$ では $f'>0$、かつ $f(0)=0$ だから $f(x)<0$。従って $−1<x<−1/2$ の範囲に正から負へ移る零点がただ1つあり、残りの半区間にはない。m=0では $f(0)=0$ かつ $0<x<1/2$ で $f'>0$ だから $f(x)>0$。一方 $f(1)=-2/\pi<0$、$1/2<x<1$ で $f'<0$ なので、この半区間に零点がただ1つある。以上より全ての整数mについて、$m<x<m+1$ の範囲に零点がただ1つ存在する。

対称区間積分を原始関数で整理すると $\displaystyle f(x)=\left(x^2+a^2-\frac{2}{\pi^2}\right)\sin(\pi x)+\frac{2x}{\pi}\cos(\pi x)$。微分して $f'(x)=\pi(x^2+a^2)\cos(\pi x)$。パラメータに依存する項から定点は$\sin(\pi x)=0$の場合に限り、整数nでの値は$\displaystyle \frac{2n(-1)^n}{\pi}$。零点の一意性はf′の符号が半整数で切り替わることと整数点での符号を用いて示す。