5愛媛大学 2002年 数学 第5問解答・解説

原本の選択問題には 5-a と 5-b があり、どちらか一方を解答する指示である。以下では両選択肢の解を示す。どちらも単独で選択解答として完結する。

5-a. 整数解

$$y^2-2yz+5z^2=(y-z)^2+4z^2$$ なので、整数 $t=y-z$ とおけば、与式は $$3x^2+t^2+4z^2=12$$ となる。各項は非負だから $3x^2\le12$、$4z^2\le12$。よって $x\text{ は }-2,-1,0,1,2\text{ のいずれか}$、$z\text{ は }-1,0,1\text{ のいずれか}$ である。

まず $z=0$ なら $3x^2+t^2=12$。$x=0$ では $t^2=12$ となり整数解がない。$x=\pm1$ では $t^2=9$、従って $t=\pm3$。$x=\pm2$ では $t=0$。

次に $z=\pm1$ なら $3x^2+t^2=8$。可能な $x$ は $0,\pm1$ で、それぞれ $t^2=8,5$ となり、整数 $t$ はない。$|x|=2$ は $3x^2=12>8$ で不可能である。以上で場合を尽くした。$y=t+z$ に戻すと、求める解は $$(x,y,z)=(1,3,0),(1,-3,0),(-1,3,0),(-1,-3,0),(2,0,0),(-2,0,0).$$ 平方完成は同値変形なので、これらはすべて元の式を満たし、他に解はない。

5-b (1). 漸化式から $u_1=1$、$u_2=a+b$、$u_3=a^2+ab+b^2$ となる。したがって $a\ne b$ なら $$\displaystyle u_n=a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}=\frac{a^n-b^n}{a-b}$$ と推定できる。$a=b$ なら各項が $a^{n-1}$ の和となるので $u_n=na^{n-1}$ と推定する。

数学的帰納法で証明する。$n=1$ では、$a\ne b$ の式は $(a-b)/(a-b)=1$、$a=b$ の式も $1\cdot a^0=1$ で、どちらも初項に一致する。$n$ で成立すると仮定する。$a\ne b$ のとき $$\displaystyle u_{n+1}=a\frac{a^n-b^n}{a-b}+b^n =\frac{a^{n+1}-ab^n+(a-b)b^n}{a-b} =\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}.$$ $a=b$ のときは $$u_{n+1}=a\cdot na^{n-1}+a^n=(n+1)a^n.$$ 従って両場合とも一般項の式が成り立つ。

5-b (2). $a\ne b$ のとき、(1)と等比数列の和より $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n u_k =\frac{1}{a-b}\left(\sum\limits _{k=1}^n a^k-\sum\limits _{k=1}^n b^k\right) =\frac{1}{a-b}\left(\frac{a(a^n-1)}{a-1}-\frac{b(b^n-1)}{b-1}\right).$$ 分母 $a-1,b-1$ は問題の条件により0ではない。

$a=b$ のときは $u_k=ka^{k-1}$ である。$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n ka^{k-1}$ とおくと、隣り合う和を引いて $$\displaystyle (1-a)S_n=1+a+\cdots+a^{n-1}-na^n =\frac{1-a^n}{1-a}-na^n.$$ ここで $a\ne1$ なので、さらに $1-a$ で割れて $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n u_k=S_n=\frac{1-(n+1)a^n+na^{n+1}}{(1-a)^2}.$$