3九州大学 2006年 数学 第3問解答・解説

準備 $a_1=b_1=1$ は正の整数であり，$a_{n+1}=2a_nb_n, b_{n+1}=2a_n^2+b_n^2$ は正の整数の四則演算（積・和の2倍）で表されているから，数学的帰納法により，すべての$n$ について$a_n,b_n$ は正の整数である。

(1)の証明 まず漸化式から$a_2,b_2$，$a_3,b_3$を実際に計算する。 $$a_2=2a_1b_1=2\cdot1\cdot1=2,\qquad b_2=2a_1^2+b_1^2=2\cdot1+1=3.$$ $$a_3=2a_2b_2=2\cdot2\cdot3=12,\qquad b_3=2a_2^2+b_2^2=2\cdot4+9=17.$$ したがって$a_3\equiv0,\ b_3\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)$であり，$n=3$のとき「$a_n$は3の倍数，$b_n$は3の倍数でない」は成り立つ。（なお$n=2$では$a_2\equiv2,\ b_2\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)$となり主張が成り立たないため，$n\geq3$という条件が本質的である。）

次に，ある$n\geq3$について$a_n\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)$かつ$b_n\not\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)$が成り立つと仮定する。合同式の性質（積・和は各項の合同類のみで定まる）を用いて$a_{n+1},b_{n+1}$を3で割った余りを調べる。 $$a_{n+1}=2a_nb_n\equiv2\cdot0\cdot b_n\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3).$$ また$a_n\equiv0$より$a_n^2\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)$であるから $$b_{n+1}=2a_n^2+b_n^2\equiv2\cdot0+b_n^2\equiv b_n^2\ (\mathrm{mod}\ 3).$$ 仮定より$b_n\not\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)$であるから，$b_n\equiv1$または$b_n\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 3)$のいずれかであり，どちらの場合も $$b_n^2\equiv1^2\equiv1,\quad\text{または}\quad b_n^2\equiv2^2=4\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)$$ となり，いずれにせよ$b_n^2\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)$である。ゆえに$b_{n+1}\equiv1\ (\mathrm{mod}\ 3)$となり，特に$b_{n+1}\not\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)$である。

以上より，「$a_n\equiv0,\ b_n\not\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 3)$」は$n=3$で成り立ち，$n$で成り立てば$n+1$でも成り立つ。よって数学的帰納法により，すべての$n\geq3$について$a_n$は3で割り切れ，$b_n$は3で割り切れない。 $\blacksquare$

(2)の証明 まず，一般に$a_{n+1}=2a_nb_n,\ b_{n+1}=2a_n^2+b_n^2$から，次の恒等式を示す。 $$b_{n+1}^2-2a_{n+1}^2=(2a_n^2+b_n^2)^2-2(2a_nb_n)^2.$$ 右辺を展開すると $$(2a_n^2+b_n^2)^2=4a_n^4+4a_n^2b_n^2+b_n^4,\qquad 2(2a_nb_n)^2=8a_n^2b_n^2$$ であるから， $$b_{n+1}^2-2a_{n+1}^2=4a_n^4+4a_n^2b_n^2+b_n^4-8a_n^2b_n^2=4a_n^4-4a_n^2b_n^2+b_n^4=(b_n^2-2a_n^2)^2.$$ そこで$e_n:=b_n^2-2a_n^2$とおくと，上式は$e_{n+1}=e_n^{\,2}$という関係を与える（この等式は$a_n,b_n$が満たす漸化式のみから導かれる代数的恒等式であり，すべての$n$について成り立つ）。

実際に$n=2$で計算すると，(1)の計算より$a_2=2,\ b_2=3$であるから $$e_2=b_2^2-2a_2^2=9-8=1.$$ したがって$e_3=e_2^{\,2}=1^2=1$であり，以下同様に$e_{n+1}=e_n^{\,2}$と$e_2=1$から，数学的帰納法により，すべての$n\geq2$について $$e_n=b_n^2-2a_n^2=1,\qquad\text{すなわち}\quad b_n^2-2a_n^2=1\quad(n\geq2)$$ が成り立つ。

いま$n\geq2$を固定し，$d=\gcd(a_n,b_n)$とおく（準備より$a_n,b_n$は正の整数だから$d$はwell-definedな正の整数）。$d\mid a_n$より$d^2\mid a_n^2$，したがって$d^2\mid2a_n^2$。また$d\mid b_n$より$d^2\mid b_n^2$。ゆえに$d^2$は$b_n^2$と$2a_n^2$の差である$b_n^2-2a_n^2=1$も割り切る。 $$d^2\mid1.$$ $d$は正の整数だから，これは$d^2=1$，すなわち$d=1$を意味する。よって$n\geq2$のとき$a_n$と$b_n$の最大公約数は1，すなわち$a_n$と$b_n$は互いに素である。 $\blacksquare$