2九州大学 2006年 数学 第2問解答・解説

$P$ の内分比から $\overrightarrow{OP}=(1-\alpha)\mathbf a+\alpha\mathbf b$。$Q$ は $OP$ 上で $\overrightarrow{OQ}=s\overrightarrow{OP}$ と書け、$AM$ 上では $M=\mathbf b/2$ より $\overrightarrow{OQ}=(1-t)\mathbf a+(t/2)\mathbf b$ と書ける。 $\mathbf a,\mathbf b$ の係数を比べると $s(1-\alpha)=1-t,\quad s\alpha=t/2$。$t=2s\alpha$ を代入して $s=1/(1+\alpha)$ を得るので、$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\mathbf a+\frac{\alpha}{1+\alpha}\mathbf b$。

(2) $R$ は $OA$ 上または延長上だから $\overrightarrow{OR}=r\mathbf a$ とおく。 $\overrightarrow{AM}=\mathbf b/2-\mathbf a$、$\displaystyle \overrightarrow{QR}=\left(r-\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right)\mathbf a-\frac{\alpha}{1+\alpha}\mathbf b$。垂直条件は $\overrightarrow{QR}\cdot\overrightarrow{AM}=0$。与えられた長さと $\cos\theta$ から $\mathbf a\cdot\mathbf b=1,\quad |\mathbf a|^2=4,\quad |\mathbf b|^2=9$ であり、$\mathbf a\cdot\overrightarrow{AM}=-7/2,\quad\mathbf b\cdot\overrightarrow{AM}=7/2$。$q=(1-\alpha)/(1+\alpha),\quad m=\alpha/(1+\alpha)$ と置けば、内積条件は $-(7/2)(r-q)-(7/2)m=0$。従って $r=q-m=(1-2\alpha)/(1+\alpha)$、よって $\displaystyle \overrightarrow{OR}=\frac{1-2\alpha}{1+\alpha}\mathbf a$。$r<0$ の場合も $R$ は $OA$ の延長上にある。

(3) $R$ が $OA$ の中点なら $r=1/2$。式を解くと $2-4\alpha=1+\alpha$、すなわち $\alpha=1/5$。これは $0<\alpha<1$ を満たし、$r=1/2>0$ なので $R$ は辺 $OA$ 上にある。