6長崎大学 2003年 数学 第6問解答・解説

原点を $O$ とし、点の位置ベクトルで与式を表すと、$$\alpha(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})+\beta(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})+\gamma(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP})=\overrightarrow{0}.$$ ここで $\alpha+\beta+\gamma=1$ より、$$\overrightarrow{OP}=\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}+\gamma\overrightarrow{OC}.$$

(1) $\beta+\gamma>0$ のとき、点 $Q$ を $\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\dfrac{\beta\overrightarrow{OB}+\gamma\overrightarrow{OC}}{\beta+\gamma}$ で定める。$\beta,\gamma\geq0$ だから、$Q$ は辺 $BC$ 上にある。また、$0\leq\alpha<1$ であり、$$\overrightarrow{OP}=\alpha\overrightarrow{OA}+(1-\alpha)\overrightarrow{OQ}$$ となるので、$P$ は線分 $AQ$ 上にある。したがって $P$ は $\triangle ABC$ の周または内部にある。$\beta+\gamma=0$ のときは $\beta=\gamma=0,\alpha=1$ であり、上の位置ベクトルの式から $P=A$ となる。よってこの場合も結論が成り立つ。

(2) $\mathbf a=\overrightarrow{IA},\mathbf b=\overrightarrow{IB},\mathbf c=\overrightarrow{IC}$ とおく。正三角形の高さは $\sqrt3/2$ であり、内心 $I$ は重心でもあるから、$IA=IB=IC=\sqrt3/3=1/\sqrt3$ かつ $\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c=\mathbf0$ である。また、例えば$$\displaystyle \mathbf a\cdot\mathbf b=\frac{|\mathbf a|^2+|\mathbf b|^2-|\mathbf a-\mathbf b|^2}{2}=\frac{\frac13+\frac13-1}{2}=-\frac16,$$同様に $\displaystyle \mathbf b\cdot\mathbf c=\mathbf c\cdot\mathbf a=-\frac16$ である。(1)と同じ位置ベクトルの関係から $\overrightarrow{IP}=\alpha\mathbf a+\beta\mathbf b+\gamma\mathbf c$ である。$q=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ とおくと、$$\displaystyle |\overrightarrow{IP}|^2=\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{3}-\frac{q}{3}.$$ $\alpha+\beta+\gamma=1$ より $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1-2q$ なので、$$\displaystyle |\overrightarrow{IP}|^2=\frac13-q.$$さらに $\alpha=1-\beta-\gamma$ を代入すると、$$q=\beta(1-\beta-\gamma)+\gamma(1-\beta-\gamma)+\beta\gamma=\beta+\gamma-\beta^2-\beta\gamma-\gamma^2,$$したがって、$$\displaystyle |\overrightarrow{IP}|^2=\frac13-\beta-\gamma+\beta^2+\beta\gamma+\gamma^2.$$

(3) 正三角形の内接円の半径は高さの $1/3$ であるから、$r=\sqrt3/6$、よって $r^2=1/12$ である。(2)の結果から、$P$ がこの円周上にあることは $|\overrightarrow{IP}|^2=1/12$ と同値であり、$$\displaystyle \frac13-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=\frac1{12}\quad\text{すなわち}\quad\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac14.$$ゆえに、示す必要十分条件が得られた。