4長崎大学 2003年 数学 第4問解答・解説

(1) $x>0$ で $\sin x=0$ となるのは $x=n\pi\ (n=1,2,\ldots)$ だから、$a_n=n\pi$ である。グラフを $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積は $$\displaystyle V_n=\pi\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2dx.$$ ここで、$u=\sin^2x,\ dv=dx/x^2$ として部分積分すると、$du=\sin2x\,dx,\ v=-1/x$ だから、 $$\displaystyle \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin^2x}{x^2}\,dx=\left[-\frac{\sin^2x}{x}\right]_{n\pi}^{(n+1)\pi}+\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin2x}{x}\,dx.$$ 両端では $\sin^2x=0$ なので、 $$\displaystyle V_n=\pi\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin 2x}{x}\,dx.$$

(2) $\displaystyle t=\frac{x}{\pi}-n$ とおくと、$x=n\pi$ から $(n+1)\pi$ まで $t$ は $0$ から $1$ まで動く。また $dx=\pi\,dt$ なので、 $$\displaystyle V_n=\int_0^1\frac{\sin^2(\pi t)}{(n+t)^2}\,dt.$$ $0\leq\sin^2(\pi t)\leq1$ かつ $n+t>0$ より、 $$\displaystyle V_n\leq\int_0^1\frac{1}{(n+t)^2}\,dt=\left[-\frac{1}{n+t}\right]_0^1=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$

(3) 各 $V_n\geq0$ であり、(2)を $n=1,2,\ldots,N$ について加えると、 $$\displaystyle 0\leq\sum\limits _{n=1}^{N}V_n\leq\sum\limits _{n=1}^{N}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}\leq1.$$ したがって部分和は増加しながら $1$ 以下に抑えられるので収束し、その極限をとれば $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}V_n\leq1$ である。

正の零点列はa_n=nπ。回転体の体積を円板法で積分し、部分積分でsin(2x)/xの定積分形に変える。積分範囲を0≦t≦1へ移し、sin²の上界1を使ってV_n≦1/n−1/(n+1)を示す。これを有限和に適用すると右辺の中間の項が打ち消し合い、非負部分和の極限が1以下と分かる。