3名古屋大学 2004年 数学 第3問解答・解説

(1) まず $n=0,1$ では定義から $$f_0(2\cos\theta)=2=2\cos0,\qquad f_1(2\cos\theta)=2\cos\theta$$ である。次に、$n-1,n-2$ で式が成り立つと仮定する。漸化式と積和公式を使うと $$\begin{aligned} f_n(2\cos\theta) &=4\cos\theta\cos((n-1)\theta)-2\cos((n-2)\theta)\\ &=2\cos(n\theta)+2\cos((n-2)\theta)-2\cos((n-2)\theta)\\ &=2\cos(n\theta). \end{aligned}$$ よって数学的帰納法により、すべての $n\geq0$ について $$\boxed{f_n(2\cos\theta)=2\cos(n\theta)}$$ が成り立つ。

(2) $|x|\leq2$ では $x=2\cos\theta$ とただ一通りに表せる。ただし $0\leq\theta\leq\pi$。 (1) より $f_n(x)=0$ となるのは $$\displaystyle n\theta=\frac\pi2+k\pi,\qquad k=0,1,\ldots,n-1$$ のときであり、対応する $x$ は $2\cos\theta$ である。$\cos\theta$ はこの範囲で減少するので、最大の解は最小の角 $\theta=\pi/(2n)$ に対応する。$a=\pi/(2n)$ とおくと $$x_n=2\cos a.$$ 積分では $x=2\cos\theta$、$dx=-2\sin\theta\,d\theta$ と置換する。$x=x_n$ は $\theta=a$、$x=2$ は $\theta=0$ に対応するので $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{x_n}^{2}f_n(x)\,dx &=4\int_0^a\sin\theta\cos(n\theta)\,d\theta\\ &=2\left\{\frac{1-\cos((n+1)a)}{n+1}-\frac{1-\cos((n-1)a)}{n-1}\right\}. \end{aligned}$$ ここで $(n+1)a=\pi/2+a$、$(n-1)a=\pi/2-a$ だから $$\cos((n+1)a)=-\sin a,\qquad \cos((n-1)a)=\sin a.$$ これを代入して整理すると $$\displaystyle \boxed{\int_{x_n}^{2}f_n(x)\,dx =\frac{4(n\sin a-1)}{n^2-1} =\frac{4\left(n\sin\frac{\pi}{2n}-1\right)}{n^2-1}}.$$

(3) $a=\pi/(2n)$ とすると $$\displaystyle n\sin\frac{\pi}{2n}=\frac\pi2\frac{\sin a}{a}\longrightarrow\frac\pi2, \qquad \frac{n^2}{n^2-1}\longrightarrow1.$$ したがって(2)の積分値を使えば $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}n^2\int_{x_n}^{2}f_n(x)\,dx =4\left(\frac\pi2-1\right)=2\pi-4}.$$