1名古屋大学 2004年 数学 第1問解答・解説

1回目に8へ着くことはない。2回目に8へ着くには、1回目の目をi=2,3,4,5,6とし、2回目に8-iを出せばよい。該当する組は5通りなので、$\displaystyle p_2=\frac{5}{6^2}=\frac{5}{36}$。

2投までの36通りのうち、2投目に終了する5通りを除くと31通りが残る。このときの位置は2から7までである。位置x (2<=x<=7) からは、8-xの目が出るちょうど1通りで8に着く。したがって、$\displaystyle p_3=\frac{31}{6^3}=\frac{31}{216}$。

2投後に終了していない位置は2,...,7である。これらの位置から次の1投で終了する目は1つだけで、ほかの5つの目では終了せず、次の位置は3,...,7のいずれかとなる。よって、その後の各投で終了せずに残る系列数は毎回5倍になる。n投目に初めて終了する系列数は、2投後の31通りから、3投目からn-1投目までの各5通りの継続を選んだ31*5^(n-3)通りである。最後のn投目は各系列につき終了する目が1つなので、$\displaystyle p_n=\frac{31\cdot5^{n-3}}{6^n}=\frac{31}{216}\left(\frac56\right)^{n-3}\quad(n\geq4)$。