4愛媛大学 2007年 数学 第4問解答・解説

3回の出目を順序を区別して考えると、全事象は $6^3=216$ 通りであり、各結果は同様に確からしい。 (1) 最大値が $k$ 以下であるためには、3回とも $1$ から $k$ までのいずれかが出ればよい。そのような結果は $k^3$ 通りなので、$\displaystyle P(A_k)=\dfrac{k^3}{216}$ である。また、最小値が $k$ 以上であるためには、3回とも $k$ から $6$ までのいずれかが出ればよい。そのような結果は $(7-k)^3$ 通りなので、$\displaystyle P(C_k)=\dfrac{(7-k)^3}{216}$ である。 (2) $A_0$ を空事象とすれば、最大値がちょうど $k$ である事象は $A_k$ から $A_{k-1}$ を除いた事象である。よって $\displaystyle P(B_k)=P(A_k)-P(A_{k-1})=\dfrac{k^3-(k-1)^3}{216}$ となる。同様に $C_7$ を空事象とすれば、最小値がちょうど $k$ である事象は $C_k$ から $C_{k+1}$ を除いた事象であり、$\displaystyle P(D_k)=P(C_k)-P(C_{k+1})=\dfrac{(7-k)^3-(6-k)^3}{216}$ となる。これらは $k=1,2,\ldots,6$ で成り立つ。 (3) 最大値を $X$ とすると、(2)より$$\displaystyle E(X)=\sum\limits _{k=1}^{6} kP(B_k)=\frac{1}{216}\sum\limits _{k=1}^{6}k\{k^3-(k-1)^3\}=\frac{1}{216}\sum\limits _{k=1}^{6}(3k^3-3k^2+k).$$ここで $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{6}k^3=441,\;\sum\limits _{k=1}^{6}k^2=91,\;\sum\limits _{k=1}^{6}k=21$ だから、$$\displaystyle E(X)=\frac{3\cdot441-3\cdot91+21}{216}=\frac{1071}{216}=\frac{119}{24}.$$最小値を $Y$ とする。各結果 $(a,b,c)$ を $(7-a,7-b,7-c)$ に移す対応は全216通りの結果を重複や漏れなく対応させる一対一対応であり、移した後の3個の数の最大値は $7-Y$ である。したがって $Y$ は $7-X$ と同じ確率分布をもち、$\displaystyle E(Y)=7-E(X)=7-\dfrac{119}{24}=\dfrac{49}{24}$ となる。