3愛媛大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) 接線の式は $$\ell_p:y=2px-p^2+2,\qquad\ell_q:y=2qx-q^2+2.$$ 交点で両式を等しく置き，$p\ne q$ で割ると $r=(p+q)/2$。 そのときの縦座標は $2pr-p^2+2=pq+2$ だから $$\displaystyle \boxed{p+q=2r,\qquad pq=\frac{(r-1)^2}{2}-2}.$$

(2) $p<r<q$ であり，放物線と接線の縦の差はそれぞれ $(x-p)^2,(x-q)^2$。 $p\le x\le r$ では下側境界が $\ell_p$，$r\le x\le q$ では $\ell_q$ になるので $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_p^r(x-p)^2\,dx+\int_r^q(x-q)^2\,dx\\ &=\frac{(r-p)^3+(q-r)^3}{3} =\boxed{\frac{(q-p)^3}{12}}. \end{aligned}$$

(3) (1)より $$(q-p)^2=(p+q)^2-4pq=4r^2-2(r-1)^2+8 =2(r+1)^2+4\ge4.$$ $q-p>0$ より $q-p\ge2$ である。従って $S\ge2/3$，等号には $r=-1$ が必要。 このとき $p+q=-2,pq=0$ だから $p=-2,q=0$ となり，実際に2接線の交点 $(-1,2)$ は $g(-1)=2$ を満たす。よって最小値とその実現値は $$\displaystyle \boxed{S_{\min}=\frac23,\qquad p=-2,\quad q=0}.$$