3大分大学 2011年 数学 第3問解答・解説

第3問 直線と放物線の差は $$\displaystyle (x+k)-x^2=k+\frac14-\left(x-\frac12\right)^2$$ である。$\displaystyle t=x-\frac12$、$\displaystyle c=k+\frac14$ とおくと、$x=-1,2$ は $\displaystyle t=-\frac32,\frac32$ に対応する。したがって面積は $$\displaystyle A(c)=\int_{-3/2}^{3/2}|t^2-c|\,dt$$ である。

$c\leq0$ では常に $t^2-c\geq0$ なので $$\displaystyle A(c)=\frac94-3c\geq\frac94>\frac{27}{16}.$$ $\displaystyle c\geq\frac94$ では常に $c-t^2\geq0$ なので $$\displaystyle A(c)=3c-\frac94\geq\frac92>\frac{27}{16}.$$

$\displaystyle 0\leq c\leq\frac94$ では $u=\sqrt c$ とおくと $\displaystyle 0\leq u\leq\frac32$ であり、符号が変わる $t=\pm u$ で積分を分けて $$\displaystyle \begin{aligned} A(c) &=2\left\{\int_0^u(c-t^2)\,dt+\int_u^{3/2}(t^2-c)\,dt\right\}\\ &=\frac94-3u^2+\frac83u^3. \end{aligned}$$ ここで $$\displaystyle A(c)-\frac{27}{16} =\frac{8}{3}u^3-3u^2+\frac{9}{16} =\left(u-\frac34\right)^2\left(1+\frac83u\right)\geq0.$$ 等号は $\displaystyle u=\frac34$、すなわち $\displaystyle c=\frac9{16}$ のときに限る。以上より、面積の最小値は $$\displaystyle \boxed{\frac{27}{16}}$$ であり、そのとき $$\displaystyle k=c-\frac14=\boxed{\frac5{16}}.$$