2大分大学 2011年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とし、$\displaystyle h=-\dfrac{b}{3a}$ とおく。条件 $a\ne0$ より $h$ は定義される。任意の実数 $t$ に対して $$\displaystyle \begin{aligned} f(h+t) &=at^3+(3ah+b)t^2+(3ah^2+2bh+c)t+f(h)\\ &=at^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)t+f(h), \end{aligned}$$ ここで $3ah+b=0$ を用いた。また $$\displaystyle f(h)=ah^3+bh^2+ch+d =\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^2}.$$ 一次式の係数を $\displaystyle L=c-\dfrac{b^2}{3a}$、$K=f(h)$ と書けば $$f(h+t)=at^3+Lt+K,\qquad f(h-t)=-at^3-Lt+K,$$ 従って $f(h+t)+f(h-t)=2K$ である。グラフ上の点 $(h+t,f(h+t))$ を $(h,K)$ に関して点対称移動すると $$2(h,K)-(h+t,f(h+t))=(h-t,2K-f(h+t))=(h-t,f(h-t)),$$ となり、再びグラフ上の点になる。$t$ は任意なのでグラフ全体は点 $$\displaystyle (h,K)=\left(-\frac{b}{3a},\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^2}\right)$$ に関して対称である。