1筑波大学 2014年 数学 第1問解答・解説

接点の $x$ 座標を $t$ とする。曲線 $y=x^3-x$ の $t$ における接線は $$y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t=(3t^2-1)x-2t^3.$$ これが $P(a,b)$ を通る条件は $$H(t):=2t^3-3at^2+(a+b)=0.$$ その3根が $\alpha,\beta,\gamma$ である。

(1) $\displaystyle H(t)/2=t^3-\frac{3a}{2}t^2+0t+\frac{a+b}{2}$ に解と係数の関係を用いると $$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=\frac{3a}{2},\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0,\qquad \alpha\beta\gamma=-\frac{a+b}{2}.$$

(2) 重心の $x$ 座標は $(\alpha+\beta+\gamma)/3=a/2$ である。また $$\displaystyle \begin{aligned} \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 &=(\alpha+\beta+\gamma)^3-3(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma\\ &=\frac{27a^3}{8}-\frac{3(a+b)}2. \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle \frac{f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)}3 =\frac{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-(\alpha+\beta+\gamma)}3 =\frac{9a^3}{8}-a-\frac b2.$$ ゆえに $G=(a/2,9a^3/8-a-b/2)$ である。

(3) $G$ の $x$ 座標が正である条件は $a>0$ である。このとき $H'(t)=6t(t-a)$ より、$H$ は $t<0$ で増加、$0<t<a$ で減少、$t>a$ で増加する。従って $H$ が相異なる3実根をもつ条件は、極大値 $H(0)=a+b$ が正、極小値 $H(a)=a+b-a^3$ が負となること、すなわち $$-a<b<a^3-a$$ である。さらに $G$ の $y$ 座標が負となる条件は $$\displaystyle \frac{9a^3}{8}-a-\frac b2<0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad b>\frac94a^3-2a.$$ 下限候補 $-a$ と $\displaystyle \frac94a^3-2a$ の差は $$\displaystyle \left(\frac94a^3-2a\right)-(-a)=a\left(\frac94a^2-1\right),$$ なので両者は $a=2/3$ で入れ替わる。また $\displaystyle \frac94a^3-2a<a^3-a$ は $0<a<2/\sqrt5$ と同値である。従って求める領域は $$\displaystyle \left\{0<a\le\frac23,\ -a<b<a^3-a\right\} \quad\text{または}\quad \left\{\frac23<a<\frac2{\sqrt5},\ \frac94a^3-2a<b<a^3-a\right\}.$$ 図では、上側境界 $b=a^3-a$ と、下側境界 $b=-a$（$0<a\le2/3$）、$\displaystyle b=\frac94a^3-2a$（$2/3<a<2/\sqrt5$）の間を塗る。境界は不等号が厳しいため含まれない。境界の接続点は $(2/3,-2/3)$、右端の極限点は $(2/\sqrt5,-2/(5\sqrt5))$ である。

% Sketch for the region required in part (3). Coordinates use a simple % picture environment; both boundary arcs are excluded as stated in the proof.