4岐阜大学 2001年 数学 第4問解答・解説

$f(x)=x^3-x^2-x+1$、$g(x)=1-x^2$ とおくと $$f(x)=(1-x)^2(1+x),\qquad g(x)=(1-x)(1+x),\qquad f(x)-g(x)=x^3-x.$$ 従って両曲線の交点は $(-1,0),(0,1),(1,0)$ である。$-1<x<0$ では $x^3-x>0$ より $f(x)>g(x)$、$0<x<1$ では $f(x)<g(x)$。また $g$ は頂点 $(0,1)$ の下向き放物線であり、$f'(x)=(3x+1)(x-1)$ だから、$f$ は $\displaystyle x=-\frac13$ で極大値 $\displaystyle \frac{32}{27}$ をとり、$(-1,0)$ から上昇し、$(0,1)$ を通って $(1,0)$ まで下降する。与えられた積の不等式は $y$ が2曲線の間にあることを表す。すなわち $-1\le x\le0$ では下側が $g$、上側が $f$、$0\le x\le1$ では下側が $f$、上側が $g$ であり、この部分を斜線で示す。

(2) $-1\le x\le1$ の範囲で $f(x),g(x)\ge0$ である。$0\le x\le1$ に対して $d=x-x^3=x(1-x^2)\ge0$ とおくと $$f(x)=g(x)-d,\qquad f(-x)=g(x)+d.$$ $x$ と $-x$ の位置にある領域の断面を合わせると、回転体の体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^1\left\{g(x)^2-f(x)^2+f(-x)^2-g(x)^2\right\}dx\\ &=\pi\int_0^1\left\{(g(x)+d)^2-(g(x)-d)^2\right\}dx\\ &=4\pi\int_0^1x(1-x^2)^2dx. \end{aligned}$$ $u=1-x^2$ と置くと $$\displaystyle V=2\pi\int_0^1u^2du=\frac{2\pi}{3}.$$