岐阜大学 2001年数学第6問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面図形と計量

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1問題

岐阜大学2001年度第6問

(選択問題) α, βは, 等式 3α^2 - 6αβ + 4β^2 = 0を満たす0でない複素数とする。以下の問に答えよ。(配点比率20%)

(1) 複素数α/βを極形式で表せ。

(2) 複素数平面上で複素数0, α, βを表す点をそれぞれO, A, Bとするとき, ∠AOBおよび∠OABを求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

解説

$\beta$ は0でないので、方程式を $\beta^2$ で割って $w=\alpha/\beta$ の二次方程式にします。解は $1\pm i/\sqrt3$ で、絶対値は $2/\sqrt3$ 、偏角は $\pm\pi/6$ です。複素数の商の偏角は偏角の差なので、これが $OA$ と $OB$ のなす小さい角になります。

三角形の辺の長さも $w$ から求められます。 $OA=|w||\beta|$ 、 $OB=|\beta|$ 、 $AB=|w-1||\beta|$ で、 $|w-1|=1/\sqrt3$ です。辺の比を整理すると、向かい合う辺が $1,\sqrt3,2$ に比例します。三平方の関係から直角は $B$ 、残る角は $A=60^\circ$ です。

この問題で使う考え方

複素数の極形式
複素数の商の偏角
余弦定理と辺の比

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