群馬大学 2001年数学第2問解答・解説

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1問題

群馬大学2001年度第2問

複素数平面において, 0 と $\cos\theta + i\sin\theta$ を通る直線と 3 点 1, 3, 2 + ih を頂点とする三角形の辺が 2 つの共有点 $z_{1}$ , $z_{2}$ ( $|z_{1}| < |z_{2}|$ ) をもつとする。ただし, 0 < h, $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

次の問いに答えよ。

(1) $z_{1}$ , $z_{2}$ を h, $\theta$ を用いて表せ。

(2) $\displaystyle \frac{|z_{2}|}{|z_{1}|}=k$ とおくとき, $\displaystyle \frac{\tan\theta}{h}$ を k を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$T=\tan\theta>0$ とおく。直線は $y=Tx$ 。辺 $1$ -- $2+ih$ 上では $(x,y)=(1+s,hs)$ 、 $0<s<1$ と書ける。 $hs=T(1+s)$ より $s=T/(h-T)$ 、したがって $\displaystyle z_1=\frac h{h-T}(1+iT).$ 2つの異なる共有点があるので直線は頂点を通る場合ではなく、 $0<s<1$ より $h>2T$ 。他方の辺 $3$ -- $2+ih$ 上で $(x,y)=(3-u,hu)$ とすれば $u=3T/(h+T)$ 、よって $\displaystyle z_2=\frac{3h}{h+T}(1+iT).$ $h>2T$ から後者の正の係数の方が大きく、指定の $|z_1|<|z_2|$ に一致する。 (2) 共通因子の絶対値が消え、 $k=3(h-T)/(h+T)$ 。整理して $\displaystyle \boxed{\frac{\tan\theta}{h}=\frac{3-k}{3+k}}\qquad(1<k<3).$

この問題で使う考え方

三角比と相互関係
内分・外分点
直線の方程式
複素数平面
複素数の極形式

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