群馬大学 2001年数学第4問解答・解説

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1問題

群馬大学2001年度第4問

長軸が x 軸上にある楕円 C が 2 点 $\displaystyle P_{1}\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right)$ , $\displaystyle P_{2}\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ を通るとき, 次の問いに答えよ。

(1) $P_{1}$ における C の接線の方程式が $4x + 12y = 5$ であるとき, C の方程式を求めよ。

(2) (1)で求めたCの極方程式を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \frac{(x-\frac18)^2}{\frac9{64}}+\frac{y^2}{\frac18}=1$ . (2) $\displaystyle \rho=\frac{3+\cos\theta}{8+\sin^2\theta}$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \frac{(x-\frac18)^2}{\frac9{64}}+\frac{y^2}{\frac18}=1,\qquad$ $\displaystyle \rho=\frac{3+\cos\theta}{8+\sin^2\theta}$ .

原文p.4の大問4(1)(2)を視認。中心(h,0)、半径a>bとしP1接線の法線係数比からa²=9tb² (t=1/4−h)。P1を通る条件からb²=(t+1)/9、a²=t(t+1)。P2はx軸上なのでa²=(t+1/4)²、よってt=1/8、h=1/8、a²=9/64、b²=1/8。代入して接線も4x+12y=5に一致する。極座標化後(8+sin²θ)ρ²−2ρcosθ−1=0の非負根を取りρ=(3+cosθ)/(8+sin²θ)。B16/F16と一致。

この問題で使う考え方

式の設定
場合分け・計算

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