1大阪大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1) $z^2\gg3$ から $$x^2-y^2\geq3,\qquad 2xy\geq0.$$ また $\bar z\gg-5/\bar z$ の実部の条件は $$\displaystyle x\geq-\frac{5x}{x^2+y^2},$$ すなわち $x(1+5/(x^2+y^2))\geq0$ だから $x\geq0$。前の不等式 $x^2-y^2\geq3$ より実際には $x>0$ となり、$xy\geq0$ から $y\geq0$ である。虚部の条件は $$\displaystyle -y\geq-\frac{5y}{x^2+y^2},\qquad y\left(\frac5{x^2+y^2}-1\right)\geq0.$$ $y>0$ の場合には $x^2+y^2\leq5$ が必要であり、$y=0$ の場合はこの条件は自動的に成立して $x$ に上限はない。従って範囲は $$\boxed{\begin{gathered}y=0,\ x\geq\sqrt3,\\\text{または}\\0<y\leq1,\ \sqrt{3+y^2}\leq x\leq\sqrt{5-y^2}\end{gathered}}.$$ 二つ目の領域の上端は $y=1,x=2$ で、左境界は双曲線 $x^2-y^2=3$、右境界は円 $x^2+y^2=5$ である。実軸上には $x=\sqrt3$ から右への半直線全体が含まれる。

(2) 実軸上の部分 $y=0$, $x\geq\sqrt3$ では $$|z-3i|^2=x^2+9\geq12>8.$$ $0<y\leq1$ の部分では $x^2\geq3+y^2$ なので $$|z-3i|^2=x^2+(y-3)^2 \geq3+y^2+(y-3)^2=2y^2-6y+12.$$ $0<y\leq1$ で右辺の導関数 $4y-6$ は負なので、最小値は $y=1$ のときの $8$ である。このとき等号条件 $x^2=3+y^2$ から $x=2$。従って $$\displaystyle \boxed{\min|z-3i|=2\sqrt2,\qquad z=2+i}.$$ この点は $x^2-y^2=3$ と $x^2+y^2=5$ の交点でもあり、許容範囲に含まれる。