4大阪大学 2001年 数学 第4問解答・解説

$\displaystyle h=\frac{\pi}{3n}$ とおく。まず $$\displaystyle f(x)=4\left(\cos x-\frac12\right)\left(\cos x-\frac32\right).$$ $0<x\le\pi$ では $\cos x$ は減少するから、 $$f(kh)\begin{cases} <0 &(1\le k<n),\\ =0 &(k=n),\\ >0 &(n<k\le 3n). \end{cases}$$ また、$g_n(k)-g_n(k-1)=f(kh)$ である。したがって、$g_n(k-1)\ge g_n(k)$ となるのは $2\le k\le n$ である。 $k=2,\ldots,n-1$ では $g_n(k)$ は直前の値より小さく、$g_n(n)=g_n(n-1)$ である。さらに $k=n+1,\ldots,3n$ では $g_n(k)$ は増加する。よって最小値を与えるのは $k=n-1,n$ である。

$$\displaystyle G_n=\sum\limits _{j=1}^{n-1}f(jh)=5(n-1)+2\sum\limits _{j=1}^{n-1}\cos(2jh)-8\sum\limits _{j=1}^{n-1}\cos(jh).$$ 加法定理から $$\displaystyle 2\sin\frac{\theta}{2}\cos(j\theta) =\sin\left((j+\frac12)\theta\right)-\sin\left((j-\frac12)\theta\right)$$ となるので、これを $j=1$ から $n-1$ まで加えると $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{n-1}\cos(j\theta) =\frac{\sin\left((n-\frac12)\theta\right)-\sin(\theta/2)}{2\sin(\theta/2)}.$$ これを $\theta=2h,h$ に適用すると $$\displaystyle 2\sum\limits _{j=1}^{n-1}\cos(2jh) =\frac{\sin(\pi/3-h)}{\sin h},\qquad \sum\limits _{j=1}^{n-1}\cos(jh) =\frac12\left(\frac{\sin(\pi/3-h/2)}{\sin(h/2)}-1\right).$$ したがって $$\displaystyle G_n=5n-1+\frac{\sin(\pi/3-h)}{\sin h} -4\frac{\sin(\pi/3-h/2)}{\sin(h/2)}.$$ $h=\pi/(3n)\to0$ と $\displaystyle \lim\limits _{t\to0}\sin t/t=1$ より、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{G_n}{n} =5+\frac{3\sqrt3}{2\pi}-\frac{12\sqrt3}{\pi} =5-\frac{21\sqrt3}{2\pi}.$$