3秋田大学 2011年 数学 第3問解答・解説

$A=3\sqrt3/4$ とおくと $$\displaystyle f^2-g^2=-\frac32-\frac{3\sqrt3}{2}\sin2x-\frac12\cos4x-2\cos2x+3\sqrt3\cos x.$$ (i) 項別積分して $$\displaystyle \int(f^2-g^2)\,dx=-\frac{3x}{2}-\frac{\sin4x}{8}-\sin2x+\frac{3\sqrt3}{4}\cos2x+3\sqrt3\sin x+C.$$ (ii) 必要十分な下限は $a\ge M(x)=\sin2x+2\cos x=2\cos x(1+\sin x)$。$\cos x<0$ では$M(x)\le0$。$\cos x\ge0$ とし$t=\sin x$とすると $$\displaystyle M(x)^2=4(1+t)^3(1-t),\quad \frac{d}{dt}M^2=8(1+t)^2(1-2t).$$ $\displaystyle -1\le t\le1\text{ で最大は }t=\frac12\text{ における }\frac{27}{4}$であり、このとき$\cos x>0$を選べる。よって $\displaystyle \max M=3\sqrt3/2$、$\text{最小 }a$も同じ。 (iii) 因数分解すると $$\displaystyle f^2-g^2=2\cos x(1-\sin x)\left(\frac{3\sqrt3}{2}-2\cos x(1+\sin x)\right).$$ 括弧内は( ii )で示した最大値より0以上なので、$\displaystyle 0\le x\le\frac\pi2\text{ では }f^2-g^2\ge0,\quad\frac\pi2\le x\le\pi\text{ では }f^2-g^2\le0$。上の$\text{原始関数を }J$とすれば $$\displaystyle \int_0^\pi|f^2-g^2|dx=2J(\pi/2)-J(0)-J(\pi)=3\sqrt3.$$

(i)は展開後に項別積分。(ii)は右辺に移した三角関数の最大値を求める。(iii)は差の平方を因数分解し、(ii)の上界で符号を決めて原始関数を区間分割して評価する。