1大阪公立大学 2026年 数学 第1問解答・解説

曲線上では $0\le x\le\cos\alpha$ であり、回転軸は $x$ 軸なので、位置 $x$ における断面は半径 $y$ の円板で、その面積は $\pi y^2$ である。曲線の式を $y$ について解き、$t=\sqrt{x/\cos\alpha}$ とおくと $$x=\cos\alpha\,t^2,\qquad y=\sin\alpha\,(1-t)^2,\qquad dx=2\cos\alpha\,t\,dt\quad(0\le t\le1).$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} V(\alpha)&=\pi\int_0^{\cos\alpha}y^2\,dx\\ &=2\pi\cos\alpha\sin^2\alpha\int_0^1t(1-t)^4\,dt\\ &=2\pi\cos\alpha\sin^2\alpha\left(\frac12-\frac43+\frac64-\frac45+\frac16\right)\\ &=\frac{\pi}{15}\cos\alpha\sin^2\alpha. \end{aligned}$$ ここで積分値は $1/30$ である。

次に $c=\cos\alpha$ とおくと $0<c<1$、$\sin^2\alpha=1-c^2$ なので $$\displaystyle V(\alpha)=\frac{\pi}{15}c(1-c^2).$$ 関数 $c(1-c^2)$ の導関数は $1-3c^2$ である。よって $0<c<1/\sqrt3$ では増加し、$1/\sqrt3<c<1$ では減少するため、最大は $c=1/\sqrt3$ でとる。このとき $\sin^2\alpha=2/3$ だから $$\displaystyle V_{\max}=\frac{\pi}{15}\cdot\frac1{\sqrt3}\cdot\frac23=\frac{2\pi}{45\sqrt3}.$$ したがって問1は $\displaystyle V(\alpha)=\frac{\pi}{15}\cos\alpha\sin^2\alpha$、問2の最大値は $\displaystyle \frac{2\pi}{45\sqrt3}$、そのとき $\displaystyle \cos\alpha=\frac1{\sqrt3}$ である。