4大阪公立大学 2026年 数学 第4問解答・解説

問1 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{\sin^2(\theta/2)}+\frac{1}{\sin^2(\theta/2+\pi/2)} &=\frac{1}{\sin^2(\theta/2)}+\frac{1}{\cos^2(\theta/2)}\\ &=\frac{\sin^2(\theta/2)+\cos^2(\theta/2)}{\sin^2(\theta/2)\cos^2(\theta/2)} =\frac{1}{\{\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)\}^2} =\frac{4}{\sin^2\theta}. \end{aligned}$$

問2 問1に $\theta_k=(2k-1)\pi/2^{n+1}$ を代入し、$k=1,\ldots,2^n$ について足す。左辺は $4S_n$ であり、右辺の二つの和は、分母が $2^{n+2}$ の正弦の奇数番目の項を前半と後半に分けたものなので、合わせて $S_{n+1}$ となる。したがって $$S_{n+1}=4S_n.$$ また $S_1=\csc^2(\pi/4)+\csc^2(3\pi/4)=4$ である。よって $$\boxed{S_n=4^n}.$$

問3 $$\displaystyle U_n=\sum\limits _{k=1}^{2^{n-1}}\frac{1}{\sin^2\left(\frac{2k-1}{2^{n+1}}\pi\right)}$$ とおく。$S_n$ の角は $\pi$ に関して対称で、$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ だから $U_n=S_n/2=4^n/2$ である。ここで $\theta_k=(2k-1)\pi/2^{n+1}$ とおくと、$1\le k\le 2^{n-1}$ では $0<\theta_k<\pi/2$ であり、与えられた不等式を足し合わせて $$\displaystyle U_n-2^{n-1}<\sum\limits _{k=1}^{2^{n-1}}\frac{1}{\theta_k^2}<U_n$$ を得る。一方 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{2^{n-1}}\frac{1}{\theta_k^2}=\frac{2^{2n+2}}{\pi^2}T_n=\frac{4^{n+1}}{\pi^2}T_n.$$ したがって $$\displaystyle \pi^2\left(\frac18-\frac{1}{2^{n+3}}\right)<T_n<\frac{\pi^2}{8}.$$ 両端は $n\to\infty$ でともに $\pi^2/8$ に収束するので、はさみうちの原理より $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}T_n=\frac{\pi^2}{8}}.$$