2京都大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1) 方程式 $x^2-2px-1=0$ の二解について、解と係数の関係から $$\alpha+\beta=2p,\qquad \alpha\beta=-1$$ である。解は $p\pm\sqrt{p^2+1}$ であり、$p>0$ より正の解 $p+\sqrt{p^2+1}$ は $1$ より大きく、負の解の絶対値は $\sqrt{p^2+1}-p=1/(\sqrt{p^2+1}+p)<1$ である。したがって条件 $|\alpha|>1$ の解は正の解であり、$\alpha>1$ かつ $\beta=-1/\alpha$ である。

$u_n=\alpha^n+\beta^n$ とおき、$u_0=2$ も定める。根の関係 $x^2=2px+1$ に $x=\alpha,\beta$ を代入して $x^{n-2}$ を掛けると、$n\ge2$ で $$u_n=2p u_{n-1}+u_{n-2}$$ を得る。$u_0=2$, $u_1=\alpha+\beta=2p$ はいずれも偶整数である。帰納法とこの漸化式により、すべての $n\ge0$ で $u_n$ は偶整数となる。特にすべての正の整数 $n$ について、$\alpha^n+\beta^n$ は整数かつ偶数である。

(2) (1)より $u_n=2k_n$（$k_n$ は整数）と書ける。すると $$\sin(\pi\alpha^n)=\sin\{2k_n\pi-\pi\beta^n\}=-\sin(\pi\beta^n).$$ また $\beta=-1/\alpha$ なので $$\displaystyle \sin(\pi\beta^n)=\sin\left(\frac{(-1)^n\pi}{\alpha^n}\right)=(-1)^n\sin\left(\frac{\pi}{\alpha^n}\right).$$ よって $$\displaystyle (-\alpha)^n\sin(\pi\alpha^n)=-\alpha^n\sin\left(\frac{\pi}{\alpha^n}\right).$$ $\alpha>1$ より $\pi/\alpha^n\to0$ であるから、基本極限 $\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ を用いると $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(-\alpha)^n\sin(\pi\alpha^n) =-\pi\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sin(\pi/\alpha^n)}{\pi/\alpha^n} =-\pi.$$