3京都大学 2020年 数学 第3問解答・解説

$\vec A,\vec B,\vec C,\vec D$ をそれぞれ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}$ と書く。すべて単位ベクトルであり、$\displaystyle \vec A\cdot\vec B=\frac12$ である。そこで $$\vec P=\vec A+\vec B,\qquad \vec Q=\vec A-\vec B$$ とおくと $$|\vec P|^2=|\vec A|^2+2\vec A\cdot\vec B+|\vec B|^2=3,\quad |\vec Q|^2=|\vec A|^2-2\vec A\cdot\vec B+|\vec B|^2=1,\quad \vec P\cdot\vec Q=0.$$ また、与えられた内積条件から $$\vec Q\cdot\vec C=\vec A\cdot\vec C-\vec B\cdot\vec C=0,\qquad \vec Q\cdot\vec D=\vec A\cdot\vec D-\vec B\cdot\vec D=0.$$ したがって $\vec P,\vec C,\vec D$ はいずれも $\vec Q$ に垂直な平面に属する。この平面内で $$\displaystyle \vec e=\frac{\vec P}{\sqrt3}$$ とし、$\vec e$ に垂直な単位ベクトルを $\vec f$ とする。この二方向を座標軸とする直交座標でベクトルを表す。

まず $$\displaystyle \vec P\cdot\vec C=\vec A\cdot\vec C+\vec B\cdot\vec C=-\frac{\sqrt6}{2}$$ なので $\vec e\cdot\vec C=-1/\sqrt2$。さらに $|\vec C|=1$ より、$\varepsilon=1$ または $\varepsilon=-1$ として $$\displaystyle \vec C=-\frac{1}{\sqrt2}\vec e+\frac{\varepsilon}{\sqrt2}\vec f$$ と表せる。一方、$\vec P\cdot\vec D=2k$ だから、ある実数 $y$ により $$\displaystyle \vec D=\frac{2k}{\sqrt3}\vec e+y\vec f$$ と書ける。条件 $\vec C\cdot\vec D=1/2$ に代入すると $$\displaystyle -\frac{2k}{\sqrt6}+\frac{\varepsilon y}{\sqrt2}=\frac12, \qquad \varepsilon y=\frac1{\sqrt2}+\frac{2k}{\sqrt3}.$$ $|\vec D|=1$ を用いて $y^2$ を消去すれば $$\displaystyle \begin{aligned} 1&=\frac{4k^2}{3}+y^2\\ &=\frac{4k^2}{3}+\left(\frac1{\sqrt2}+\frac{2k}{\sqrt3}\right)^2, \end{aligned}$$ すなわち $$16k^2+4\sqrt6\,k-3=0.$$ この二次方程式の解は $$\displaystyle k=\frac{-\sqrt6\pm3\sqrt2}{8}.$$ $k>0$ なので正の解を選び、 $$\displaystyle \boxed{k=\frac{3\sqrt2-\sqrt6}{8}}.$$