4京都大学 2020年 数学 第4問解答・解説

$B(q)$ は，正の整数 $q$ を $3^b c$（$3\nmid c$）と書いたときの指数 $b$ である。ここで $$f(m,n)=m^3+n^2+n+3.$$ 条件より $1\leq m,n\leq30$，$3\nmid n$ である。以下，合同式で $f(m,n)$ を割る $3$ の最大の指数と，その指数をとる組を調べる。

まず $n\equiv1\pmod3$ の場合，$3\mid f$ なら $m^3\equiv m\pmod3$ より $m\equiv1\pmod3$ である。このとき $m,n$ はいずれも $1,4,7\pmod9$ のいずれかなので，$m^3\equiv1\pmod9$，$n(n+1)\equiv2\pmod9$。よって $$f(m,n)\equiv1+2+3\equiv6\pmod9,$$ したがってこの場合は $B(f)\leq1$。

次に $n\equiv2\pmod3$ とする。このとき $n(n+1)+3\equiv0\pmod3$ なので，$3\mid f$ となるための条件は $m\equiv0\pmod3$ である。そこで $m=3k$（$1\leq k\leq10$）とおく。$n\equiv2,5,8\pmod9$ に応じて $n(n+1)+3\equiv0,6,3\pmod9$ であり，$m^3\equiv0\pmod9$ だから，$9\mid f$ ならば $n\equiv2\pmod9$ が必要である。

さらに $n\equiv2\pmod9$ と書く。法 $27$ では $n\equiv2,11,20\pmod{27}$ のいずれかであり，対応する $n^2+n+3$ の剰余はそれぞれ $9,0,18$ である。$m=3k$ なら $m^3\equiv0\pmod{27}$ だから，$27\mid f$ となるには $n\equiv11\pmod{27}$ が必要である。$1\leq n\leq30$ より，この場合は $n=11$ に限る。

$n=11$，$m=3k$ のとき $$f(m,11)=27(k^3+5).$$ したがって $81\mid f$ となるのは $k^3+5\equiv0\pmod3$，すなわち $k\equiv1\pmod3$ のときに限る。範囲 $1\leq k\leq10$ では $k=1,4,7,10$ である。各 $k$ は $1\pmod3$ なので $k^3\equiv1\pmod9$，ゆえに $k^3+5\equiv6\pmod9$。したがってこれらの組では $3^4\mid f$ かつ $3^5\nmid f$ である。

また，$B(f)\geq4$ なら $81\mid f$ であり，上の必要条件から必ず $n=11$，$k=1,4,7,10$ のいずれかとなる。よって最大値は $4$ で，それを与える全ての組は $$(m,n)=(3,11),(12,11),(21,11),(30,11)$$ である。