京都大学 2020年数学第5問解答・解説

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1問題

京都大学2020年度第5問配点 35点

縦4個，横4個のマス目のそれぞれに1, 2, 3, 4の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい，縦の並びを列という。どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の1例である。

1	2	3	4
3	4	1	2
4	1	2	3
2	3	4	1

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

数字の付け替えと行の並べ替えで第1行・第1列を固定し、その正規化形を場合分けで数えてから逆操作の数を掛ける。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

576通り

4解答

解答を見る途中式つきの解答

数字の付け替えで第1行を $(1,2,3,4)$ にし、その後、第1列の下3個が $(2,3,4)$ の順になるように第2〜4行を並べ替える。こうして得られる方格を数える。第2行の先頭は2であり、各列で第1行と重ならない条件から第2行は $(2,1,4,3)$ 、 $(2,3,4,1)$ 、 $(2,4,1,3)$ のいずれか。第3行の先頭は3、第4行の先頭は4に固定される。各列で数字が重ならないように補うと、完成形は次の4通りである。 $\begin{array}{ccc}2143&3412&4321\\2143&3421&4312\\2341&3412&4123\\2413&3142&4321\end{array}$ したがって正規化した方格は4通り。元の方格へ戻すには、数字の付け替えが $4!$ 通り、下3行の並べ替えが $3!$ 通りあり、それぞれ異なる方格を与える。 $4\times4!\times3!=4\times24\times6=576.$

この問題で使う考え方

和の法則
積の法則
順列

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