1京都大学 2020年 数学 第1問解答・解説

三つの解の重心は、解と係数の関係から $-a$ である。一辺が $\sqrt{3}a$ の正三角形の外接円の半径は $a$ なので、 $$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\quad \omega^3=1,\quad \omega\ne1$$ とおけば、ある複素数 $u$（$|u|=a$）を用いて三解は $-a+u, -a+u\omega, -a+u\omega^2$ と表せる。

これらの積は $(-a)^3+u^3=u^3-a^3$ である。定数項から解の積は $-1$ だから、 $$u^3=a^3-1,\qquad |u^3|=|u|^3=a^3.$$ よって $|a^3-1|=a^3$。$t=a^3>0$ とすると、$t\ge1$ では $t-1=t$ となり不可能である。$0<t<1$ では $1-t=t$ より $\displaystyle t=\frac12$。したがって $\displaystyle a=\frac1{\sqrt[3]{2}}$。

このとき $u^3=-a^3$ なので、$u=a e^{i(\pi/3+2k\pi/3)}$（$k=0,1,2$）。$k$ の違いは三解を巡回置換するだけなので、$u=a e^{i\pi/3}$ としてよい。すると三解は $$\displaystyle -a+u=-\frac a2+\frac{\sqrt3 a}{2}i,\quad -a+u\omega=-2a,\quad -a+u\omega^2=-\frac a2-\frac{\sqrt3 a}{2}i.$$ 最後に解の二つずつの積の和、すなわち $z$ の係数は $$(-2a)(a\omega)+(-2a)(a\omega^2)+(a\omega)(a\omega^2)=3a^2$$ である（$\omega+\omega^2=-1$）。したがって $\displaystyle b=3a^2=\frac3{\sqrt[3]{4}}$。実際、対応する多項式は $(z+2a)(z^2+az+a^2)=z^3+3az^2+3a^2z+2a^3$ で、$2a^3=1$ となる。