3鹿児島大学 2020年 数学 第3問解答・解説

3-1

(1) 漸化式に初項を代入すると $$a_2=\sqrt3,\qquad b_2=1.$$ さらに $$a_3=a_2+\sqrt3b_2=2\sqrt3,\qquad b_3=-\sqrt3a_2+b_2=-2,$$ $$a_4=a_3+\sqrt3b_3=0,\qquad b_4=-\sqrt3a_3+b_3=-8.$$ (2) 漸化式を2段階進めると $$a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt3b_{n+1}=-2a_n+2\sqrt3b_n,\qquad b_{n+2}=-\sqrt3a_{n+1}+b_{n+1}=-2\sqrt3a_n-2b_n.$$ よって $$a_{n+3}=a_{n+2}+\sqrt3b_{n+2}=-8a_n,\qquad b_{n+3}=-\sqrt3a_{n+2}+b_{n+2}=-8b_n.$$ これはすべての自然数 $n$ について成り立つ。 (3) 3項ずつの組は前の組の $-8$ 倍になる。また $a_1+a_2+a_3=3\sqrt3$ だから $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{9}a_n=3\sqrt3(1-8+64)=171\sqrt3.$$ (4) (2)から $a_{3j+1}=(-8)^ja_1=0,\ b_{3j+1}=(-8)^jb_1=(-8)^j$ である。 $2020=3\cdot673+1$ より $a_{2020}=0,\ b_{2020}=(-8)^{673}=-8^{673}$。 また各 $j=0,\ldots,672$ について $a_{3j+1}+a_{3j+2}+a_{3j+3}=3\sqrt3(-8)^j$ だから $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{2020}a_n=3\sqrt3\sum\limits _{j=0}^{672}(-8)^j =\frac{\sqrt3}{3}(1+8^{673}).$$ したがって $$\displaystyle T=\frac{-8^{673}}{\sqrt3}+\frac{1+8^{673}}{\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}.$$

3-2

(1) $\angle AOB=\phi$ とおく。$AD\perp OB$ なので $\theta=90^\circ-\phi$。 直角三角形 $OAD$ で $OA=1$ は斜辺だから $OD=\sin\theta$。 また直角三角形 $OBE$ では $\angle OBE=90^\circ-\phi=\theta$ であり、斜辺は $OB=k$ だから $OE=k\sin\theta$。 (2) $\vec u=\overrightarrow{OA},\ \vec v=\overrightarrow{OB}$ とおく。 $\vec u\cdot\vec u=1,\ \vec v\cdot\vec v=k^2$ であり、 $$\vec u\cdot\vec v=k\cos\phi=k\sin\theta=:q.$$ $\overrightarrow{OH}=\alpha\vec u+\beta\vec v$ とする。 $AH\perp OB$ および $BH\perp OA$ より $$(\overrightarrow{OH}-\vec u)\cdot\vec v=0,\qquad (\overrightarrow{OH}-\vec v)\cdot\vec u=0,$$ したがって $$q\alpha+k^2\beta=q,\qquad \alpha+q\beta=q.$$ この連立方程式を解くと $$\displaystyle \alpha=\frac{q(k^2-q)}{k^2-q^2},\qquad \beta=\frac{q(1-q)}{k^2-q^2}.$$ $q=k\sin\theta$ および $k^2-q^2=k^2\cos^2\theta$ を代入して $$\displaystyle \overrightarrow{OH} =\frac{\sin\theta(k-\sin\theta)}{\cos^2\theta}\overrightarrow{OA} +\frac{\sin\theta(1-k\sin\theta)}{k\cos^2\theta}\overrightarrow{OB}.$$ (3) 重心 $G$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{OG}=(\vec u+\vec v)/3$ である。 これが $AD,BE$ の両方に乗る条件は $$\displaystyle \left(\frac{\vec u+\vec v}{3}-\vec u\right)\cdot\vec v=0,\qquad \left(\frac{\vec u+\vec v}{3}-\vec v\right)\cdot\vec u=0.$$ それぞれ整理すると $k^2-2q=0,\ 1-2q=0$ だから $q=1/2,\ k^2=1$。 $k>0$ より $k=1$、さらに $q=k\sin\theta$ と $0^\circ<\theta<90^\circ$ から $\theta=30^\circ$。 このとき重心は両高度上にあり、$H=G$ となる。

3-3

(1) 全事象は $6^3=216$ 通り。 $P(A)=3^3/216=1/8$、$P(B)=6\cdot5\cdot4/216=5/9$ である。 $A\cap B$ では3回とも異なる偶数なので $P(A\cap B)=3\cdot2\cdot1/216=1/36$。 一方 $P(A)P(B)=5/72\ne1/36$ だから、$A$ と $B$ は独立でない。 (2) 1回の出目を $U$ とすると $$\displaystyle E(U)=\frac72,\qquad V(U)=\frac{1^2+2^2+\cdots+6^2}{6}-\left(\frac72\right)^2=\frac{35}{12}.$$ 3回の出目は独立なので、和 $X$ について $E(X)=21/2,\ V(X)=35/4$。 $Y=2X$ より $$E(Y)=2E(X)=21,\qquad V(Y)=4V(X)=35.$$ (3) $Z_1=5,\ Z_2=2$ となるには3個の出目がすべて $2,3,4,5$ のいずれかで、2と5が少なくとも1回ずつ出る。 そのような順序つきの出方は、余事象を引いて $$4^3-3^3-3^3+2^3=18$$ 通り。したがって求める確率は $18/6^3=1/12$ である。