4鹿児島大学 2020年 数学 第4問解答・解説

第1象限の点を $P=(s,t)$ とおく。双曲線 $H$ 上にあるので $s^2-t^2=1$、また $s,t>0$ である。$H$ の接線の傾きは $s/t$、放物線 $\displaystyle C\colon y=\frac a2x^2+b$ の接線の傾きは $as$ だから、共通接線をもつ条件より $$\displaystyle \frac{s}{t}=as.$$ $s>0$、$a>0$ より $t=1/a$。さらに $s^2=1+t^2$ から $$\displaystyle s=\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}.$$ $P$ が $C$ 上にもあることから $$\displaystyle b=t-\frac a2s^2=\frac{1-a^2}{2a}.$$ 双曲線と放物線の共有点では $x^2=1+y^2$ である。これを $C$ に代入して上の $b$ を用いると $$\displaystyle y=\frac a2(1+y^2)+\frac{1-a^2}{2a} \quad\text{すなわち}\quad \frac a2\left(y-\frac1a\right)^2=0.$$ よって共有点は $P=(s,t)$ と $Q=(-s,t)$ である。以上より $$\displaystyle \boxed{P=\left(\frac{\sqrt{a^2+1}}a,\frac1a\right)},\qquad \boxed{b=\frac{1-a^2}{2a}}.$$

**(2)** $P$ における $C$ の接線の傾きは $as=\sqrt{a^2+1}$。したがって $$\ell_1:y-t=\sqrt{a^2+1}(x-s),\qquad \boxed{\ell_1:y=\sqrt{a^2+1}\,x-a}.$$ 対称な点 $Q$ における接線は $\ell_2:y=-\sqrt{a^2+1}\,x-a$ である。

**(3)** $C$ の右辺を $\displaystyle F(x)=\frac a2x^2+b$ とおく。接線との差は $$\displaystyle F(x)-\ell_1(x)=\frac a2(x-s)^2,\qquad F(x)-\ell_2(x)=\frac a2(x+s)^2.$$ 囲まれた部分は左右対称なので、その面積は $$\displaystyle S=2\int_0^s\bigl(F(x)-\ell_1(x)\bigr)\,dx =2\int_0^s\frac a2(x-s)^2\,dx =\frac{as^3}{3} =\boxed{\frac{(1+a^2)^{3/2}}{3a^2}}.$$

**(4)** $a>0$ に対し $$\displaystyle S'(a)=\frac{\sqrt{1+a^2}}{3a^3}(a^2-2).$$ 前の因子は正だから、$0<a<\sqrt2$ で減少し、$a>\sqrt2$ で増加する。したがって最小値は $a=\sqrt2$ でとり、 $$\displaystyle \boxed{S_{\min}=S(\sqrt2)=\frac{\sqrt3}{2}}.$$