2鹿児島大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1) $f(x)=x^2+(a+1)x+2a$ を平方完成すると $$\displaystyle f(x)=\left(x+\frac{a+1}{2}\right)^2+\frac{-a^2+6a-1}{4}$$ となる。二乗項は $\displaystyle x=-\frac{a+1}{2}$ のとき $0$ となるので、$f(x)>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つための必要十分条件は $-a^2+6a-1>0$ である。よって $$a^2-6a+1<0 \text{すなわち} (a-(3-2\sqrt{2}))(a-(3+2\sqrt{2}))<0$$ から、$A$ に属する $a$ の範囲は $3-2\sqrt{2}<a<3+2\sqrt{2}$ となる。

(2) $b<0$ のとき、 $$\displaystyle bx^2+tx+(b+t)=b\left(x+\frac{t}{2b}\right)^2+b+t-\frac{t^2}{4b}.$$ 平方項は $x$ を動かすといくらでも大きくでき、係数 $b$ は負なので、この式が負となる $x$ が存在する。$b=0$ のときは $t(x+1)<0$ となる $x<-1$ が存在する（$t>0$）。$b>0$ のときは上に開く二次関数であり、最小値は $\displaystyle x=-\frac{t}{2b}$ のときの $\displaystyle b+t-\frac{t^2}{4b}$ である。したがって、この場合に負となる $x$ が存在するための必要十分条件は $$\displaystyle b+t-\frac{t^2}{4b}<0 \text{すなわち} 4b^2+4tb-t^2<0$$ である。右辺の二次式の $b$ に関する解は $\displaystyle \frac{-1-\sqrt{2}}{2}t,\ \frac{-1+\sqrt{2}}{2}t$ である。$t>0$ と $b>0$ より $\displaystyle 0<b<\frac{\sqrt{2}-1}{2}t$ となる。以上を $b\leq0$ の場合と合わせて $$\displaystyle b<\frac{\sqrt{2}-1}{2}t$$ を満たす実数全体が $B$ である。

(3) $A\cap B$ が空でないための必要十分条件は、$B$ の上端が $A$ の下端より大きいことである。よって $$\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{2}t>3-2\sqrt{2} \text{すなわち} t>\frac{2(3-2\sqrt{2})}{\sqrt{2}-1} =2(\sqrt{2}-1).$$ 求める範囲は $t>2(\sqrt{2}-1)$ である。