II日本医科大学 2020年 数学 第II問解答・解説

問1　 点 $A=(1,-\sqrt5/2,3\sqrt3/2)$ と法線ベクトル $\vec n=(-2,\sqrt5,\sqrt3)$ の内積は $$\displaystyle \vec n\cdot\overrightarrow{OA}=-2-\frac52+\frac92=0.$$ したがって平面 $\alpha$ は原点を通る。法線ベクトルが $\vec n$ なので、方程式は $$-2x+\sqrt5y+\sqrt3z=0.$$

問2　 $(0,0,1)$ と $\vec n$ の内積は $\sqrt3$、$|\vec n|=\sqrt{4+5+3}=2\sqrt3$ である。なす角を $\theta$ とすると $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt3}{1\cdot2\sqrt3}=\frac12,$$ ゆえに $\theta=\pi/3$。

問3　 問1の平面は原点を通り、点 $(0,0,3)$ では $-2x+\sqrt5y+\sqrt3z=3\sqrt3>0$ である。そこで $$\displaystyle u=\frac{-2x+\sqrt5y}{3},\qquad v=\frac{\sqrt5x+2y}{3}$$ とおく。この二つの水平座標の軸は直交し、$u^2+v^2=x^2+y^2$ だから、球の条件は $u^2+v^2+z^2\le9$ のままである。また平面の点側の条件は $3u+\sqrt3z\ge0$、すなわち $u\ge-z/\sqrt3$ となる。

$v$ を固定すると、$(u,z)$ 平面での断面は半径 $R=\sqrt{9-v^2}$ の円内にある。さらに $z\ge0$ および $u\ge-z/\sqrt3$ を満たす部分は、原点を中心とする角 $2\pi/3$ の扇形である。実際、$u=R_0\cos\theta,\ z=R_0\sin\theta$ とみると $0\le\theta\le\pi$ であり、平面の条件は $3\cos\theta+\sqrt3\sin\theta\ge0$、したがって $0\le\theta\le2\pi/3$ となる。ここで $-3\le v\le3$ であるから、断面積を積分して $$\displaystyle V=\int_{-3}^{3}\frac12\left(\sqrt{9-v^2}\right)^2\frac{2\pi}{3}\,dv =\frac\pi3\int_{-3}^{3}(9-v^2)\,dv =12\pi.$$ よって求める体積は $12\pi$。