III日本医科大学 2020年 数学 第III問解答・解説

問1 $T_t(k)=(x,y)$ とおくと $$\displaystyle x^2+y^2=\frac{k^2+t^2k^4}{(1+t^2k^2)^2}=\frac{k^2}{1+t^2k^2}=kx.$$ したがって $(x-k/2)^2+y^2=(k/2)^2$ であり、中心は $(k/2,0)$、半径は $k/2$ である。

問2 円の法線は中心と接点を通る半径の直線である。$k=1/2$ では接点から中心への差は比例ベクトル $(4-t^2,4t)$、中心は $(1/4,0)$ なので $$l_1(t):\quad 4t(x-1/4)=(4-t^2)y.$$ $k=1$ では同様に差は比例ベクトル $(1-t^2,2t)$、中心は $(1/2,0)$ より $$l_2(t):\quad 2t(x-1/2)=(1-t^2)y.$$ この式は垂直な場合もそのまま成り立つ。

問3 上の2式を整理すると $$4tx-(4-t^2)y=t,\qquad 2tx-(1-t^2)y=t.$$ 差をとると $2tx-3y=0$、よって $y=2tx/3$。これを第2式に代入すれば $$\displaystyle \frac{2t(t^2+2)}3x=t,$$ したがって $$\displaystyle P(t)=\left(\frac{3}{2(t^2+2)},\frac{t}{t^2+2}\right).$$

問4 この表示から $t=3y/(2x)$、$t^2+2=3/(2x)$ なので、消去すると $$8x^2-6x+9y^2=0,$$ すなわち $$\displaystyle \frac{(x-3/8)^2}{9/64}+\frac{y^2}{1/8}=1.$$ $t>0$ から $y>0$、また $0<x<3/4$ であり、この楕円の上側の一部を描く。中心は $(3/8,0)$、半長軸は $3/8$、半短軸は $\sqrt2/4$ である。焦点距離は $$c=\sqrt{(3/8)^2-(\sqrt2/4)^2}=1/8.$$ したがって焦点は $(1/4,0),(1/2,0)$、長軸と短軸の長さはそれぞれ $3/4,\sqrt2/2$。