3奈良県立医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

平面上の三角形 $OAB$ は退化していないので、$\vec a,\vec b$ は平行でなく、$a>0$ である。したがって $$D=a^2b^2-c^2>0$$ とおける。

直線 $l$ 上では $\vec a\cdot\overrightarrow{OX}=\alpha$ が一定である。$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t\vec l$ に代入すると、$t$ の係数は $\vec a\cdot\vec l$ だから、$\vec a\cdot\vec l=0$。よって $\text{ア}=0$ である。

$\displaystyle \vec b-\dfrac{c}{a^2}\vec a$ は $\vec a$ と垂直であり、その大きさは $$\displaystyle \left|\vec b-\frac{c}{a^2}\vec a\right|^2 =b^2-\frac{c^2}{a^2}=\frac{D}{a^2}$$ だから $\sqrt D/a$ である。したがって、直線 $l$ に平行な単位ベクトルは $$\displaystyle \vec l=\pm\frac{\vec b-\frac{c}{a^2}\vec a}{\sqrt D/a} =\pm\left(-\frac{c}{a\sqrt D}\vec a+\frac{a}{\sqrt D}\vec b\right).$$ よって $\displaystyle \text{イ}=-\dfrac{c}{a\sqrt{a^2b^2-c^2}}$、$\displaystyle \text{ウ}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2b^2-c^2}}$ である。

$P$ は直線 $OA$ 上にあるので、$\overrightarrow{OP}=s\vec a$ とおく。点 $P$ が直線 $l$ 上にあることより $\vec a\cdot\overrightarrow{OP}=\alpha$、すなわち $sa^2=\alpha$。よって $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\dfrac{\alpha}{a^2}\vec a$ であり、$\displaystyle \text{エ}=\dfrac{\alpha}{a^2}$ である。

共通点 $Z$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{OZ}=x\vec a+y\vec b$ とおく。点 $Z$ が直線 $l$ および直線 $m$ 上にある条件は、それぞれ $$a^2x+cy=\alpha,\qquad cx+b^2y=\beta$$ である。第1式に $b^2$、第2式に $c$ を掛けて差をとると $Dx=b^2\alpha-c\beta$ を得る。また第2式に $a^2$、第1式に $c$ を掛けて差をとると $Dy=a^2\beta-c\alpha$ を得る。$D>0$ より $$\displaystyle x=\frac{b^2\alpha-c\beta}{a^2b^2-c^2},\qquad y=\frac{a^2\beta-c\alpha}{a^2b^2-c^2}.$$ したがって、$\displaystyle \text{オ}=\dfrac{b^2\alpha-c\beta}{a^2b^2-c^2}$、$\displaystyle \text{カ}=\dfrac{a^2\beta-c\alpha}{a^2b^2-c^2}$ である。この式を内積に代入すれば $\vec a\cdot\overrightarrow{OZ}=\alpha$、$\vec b\cdot\overrightarrow{OZ}=\beta$ がそれぞれ成り立つので、求めた点は両直線上にある。