IV北里大学 2020年 2日目 数学 第IV問解答・解説

立方体の各辺の長さは $4$ で、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$ は互いに垂直である。

辺 $FG$ の中点 $P$ について、$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$ だから、 $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AG}}2 =\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}.$$ したがって、ソ $=1$、タ $\displaystyle =\frac12$、チ $=1$ であり、選択肢番号は順に $2,3,2$ である。

$HQ:QE=1:3$ より、 $$\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AH}+\frac14\overrightarrow{HE} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}-\frac14\overrightarrow{AD} =\frac34\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}.$$ 各基底ベクトルの長さは $4$ で互いに垂直なので、 $$\displaystyle \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ} =\frac12\cdot\frac34\lvert\overrightarrow{AD}\rvert^2+\lvert\overrightarrow{AE}\rvert^2 =\frac38\cdot16+16=22.$$ よって、ツ $=22$（選択肢 $4$）。

また、 $$\displaystyle \lvert\overrightarrow{AP}\rvert^2=16\left(1+\frac14+1\right)=36, \qquad \lvert\overrightarrow{AQ}\rvert^2=16\left(\frac9{16}+1\right)=25.$$ $\angle PAQ=\theta$ とすると、内積より $\cos\theta=22/(6\cdot5)=11/15$ である。したがって $\sin\theta=2\sqrt{26}/15$ となり、 $$\displaystyle S=\frac12\lvert\overrightarrow{AP}\rvert\lvert\overrightarrow{AQ}\rvert\sin\theta =\frac12\cdot6\cdot5\cdot\frac{2\sqrt{26}}{15}=2\sqrt{26}.$$ よって、テ $=2\sqrt{26}$（選択肢 $7$）。

辺 $BF$ 上の点 $R$ を $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AE}$ とおく。$A,P,Q,R$ が同一平面上にあるので、ある実数 $\lambda,\mu$ を用いて $\overrightarrow{AR}=\lambda\overrightarrow{AP}+\mu\overrightarrow{AQ}$ と表せる。各基底の係数を比較すると、 $$\displaystyle 1=\lambda,\qquad 0=\frac12\lambda+\frac34\mu,\qquad t=\lambda+\mu.$$ よって $\displaystyle \lambda=1,\ \mu=-\frac23,\ t=\frac13$。したがって $$\displaystyle RF=4\left(1-\frac13\right)=\frac83,$$ ゆえに、ト $\displaystyle =\frac83$（選択肢 $6$）。

四角形 $ARPQ$ は対角線 $AP$ で三角形 $ARP$ と $APQ$ に分かれる。さらに、 $$\displaystyle \lvert\overrightarrow{AR}\rvert^2=16\left(1+\frac19\right)=\frac{160}{9}, \qquad \overrightarrow{AR}\cdot\overrightarrow{AP}=16\left(1+\frac13\right)=\frac{64}{3}.$$ 内積と三角形の面積公式から、 $$\displaystyle [ARP]=\frac12\sqrt{\lvert\overrightarrow{AR}\rvert^2\lvert\overrightarrow{AP}\rvert^2-(\overrightarrow{AR}\cdot\overrightarrow{AP})^2} =\frac12\sqrt{\frac{160}{9}\cdot36-\left(\frac{64}{3}\right)^2} =\frac{4\sqrt{26}}3.$$ したがって $$\displaystyle T=S+[ARP]=2\sqrt{26}+\frac{4\sqrt{26}}3=\frac{10\sqrt{26}}3, \qquad \frac ST=\frac{2\sqrt{26}}{10\sqrt{26}/3}=\frac35.$$ よって、ナ $\displaystyle =\frac35$（選択肢 $4$）。最後に、長さはすべて正で $RF=8/3<4=BF$ であり、面積も $T>S>0$ となる。各選択肢を照合すると、得られた値はそれぞれ ソ $2$、タ $3$、チ $2$、ツ $4$、テ $7$、ト $6$、ナ $4$ 番に一致する。