V北里大学 2020年 2日目 数学 第V問解答・解説

共通指示：以下の問題の $\square$ にあてはまる答を選択肢の中から1つ選び、その番号を解答欄にマークしなさい。 　 V. $a,b,c$ を正の定数とし、2つの曲線 $y=x^3-bx^2+cx$ と $y=x^2-2x$ がともに点 $P(a,a^2-2a)$ を通り、点 $P$ において共通の接線 $l$ をもつとする。このとき、直線 $l$ の方程式は $a$ を用いて $y=\boxed{\text{二}}$ と表され、$b,c$ はそれぞれ $a$ を用いて $b=\boxed{\text{ヌ}},\ c=\boxed{\text{ネ}}$ と表される。さらに、2つの曲線 $y=x^3-bx^2+cx$ と $y=x^2-2x$ で囲まれた部分の面積が $3$ であるとき、$a$ の値は $\boxed{\text{ノ}}$ である。また、曲線 $y=x^3-bx^2+cx$ の $x\leq 0$ の部分と曲線 $y=x^2-2x$ および直線 $l$ で囲まれた部分の面積は $a$ を用いて $\boxed{\text{八}}$ と表される。 　 二の選択肢：$1:2ax-a^2,\ 2:2ax+a^2-2a,\ 3:2ax-a^2-2a,\ 4:(2a-2)x+a^2,\ 5:(2a-2)x-a^2,\ 6:(2a-2)x+a^2-2a,\ 7:(2a-2)x+3a^2-4a,\ 8:3a^2x+a^2,\ 9:3a^2x+a^2-2a,\ 10:3a^2x-3a^3+a^2-2a$。 　 ヌの選択肢：$1:a+1,\ 2:a-1,\ 3:a+2,\ 4:2a+1,\ 5:2a-1,\ 6:2a+3,\ 7:3a+1,\ 8:3a+2,\ 9:3a-2,\ 10:4a-3$。 　 ネの選択肢：$1:a^2+1,\ 2:a^2-2,\ 3:a^2+4a-2,\ 4:a^2+8a-2,\ 5:-a^2+4a-2,\ 6:-a^2+4,\ 7:3a^2-2,\ 8:3a^2+4a-2,\ 9:3a^2+6a-2,\ 10:3a^2+8a-2$。 　 ノの選択肢：$1:2,\ 2:\sqrt{2},\ 3:3\sqrt{2},\ 4:\sqrt{3},\ 5:\sqrt{6},\ 6:2+\sqrt{2},\ 7:3-\sqrt{2},\ 8:2+\sqrt{3},\ 9:4-\sqrt{3},\ 10:1+\sqrt{6}$。 　 八の選択肢：$\displaystyle 1:a^3+\frac13a^2+\frac13a+1,\ 2:\frac12a^3+\frac13a^2+\frac12a+\frac13,\ 3:\frac12a^3+\frac13a^2+\frac12a+\frac16,\ 4:\frac13a^3+\frac12a^2+\frac13a+\frac1{12},\ 5:\frac13a^3+\frac23a^2+\frac13a+\frac1{12},\ 6:\frac14a^3+\frac16a^2+\frac14a+1,\ 7:\frac16a^3+\frac12a^2+\frac12a+\frac16,\ 8:\frac16a^3+\frac13a^2+\frac13a+\frac16,\ 9:\frac1{12}a^3+\frac14a^2+\frac14a+\frac1{12},\ 10:\frac1{12}a^3+\frac16a^2+\frac16a+\frac1{12}$。