I北里大学 2020年 2日目 数学 第I問解答・解説

$E,F$ はともに辺 $AC$ 上にある。もし $F$ が $E$ より $A$ 側にあれば $EF\le AE=2$ となり、$EF=8$ に矛盾する。したがって点の順序は $A,E,F,C$ であり、 $$AC=AE+EF+FC=2+8+6=16,\qquad AF=AE+EF=10.$$ 点 $A$ から円に引いた接線が $AD$、割線が $AEC$ である。接線と割線についての方べきの定理より $$AD^2=AE\cdot AC=2\cdot16=32.$$ 長さは正なので $AD=4\sqrt2$。したがって $\boxed{\text{ア}}$ は選択肢 $5$ である。

$BF$ は $\angle ABC$ の二等分線なので、角の二等分線の定理から $$\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{AF}{FC}=\frac{10}{6}=\frac53.$$ また、点 $B$ から円に引いた接線の長さは等しいので $BD=BC$。$BC=s$ とおけば $AB=AD+DB=4\sqrt2+s$ であり、$AB/BC=5/3$ より $$\displaystyle \frac{4\sqrt2+s}{s}=\frac53, \qquad s=6\sqrt2.$$ ゆえに $BC=6\sqrt2$、$AB=10\sqrt2$ となり、$\boxed{\text{イ}}$ は選択肢 $4$ である。

三角形 $ABC$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle \cos\angle ABC=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\,AB\,BC} =\frac{200+72-256}{240}=\frac1{15}.$$ 三角形 $BCD$ では $BD=BC=6\sqrt2$、かつ $\angle CBD=\angle ABC$ だから、再び余弦定理を用いて $$\displaystyle CD^2=(6\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2-2(6\sqrt2)^2\cdot\frac1{15} =\frac{2016}{15}=\frac{672}{5}.$$ したがって $\displaystyle CD=\sqrt{672/5}=\frac{4\sqrt{210}}5$ であり、$\boxed{\text{ウ}}$ は選択肢 $10$ である。

円の中心 $O$ は、接線 $BA,BC$ からの距離が等しく、接点 $D,C$ がそれぞれこの二辺上にあるので、$\angle ABC$ の内角の二等分線上にある。よって直角三角形 $BCO$ で $\displaystyle \angle CBO=\frac12\angle ABC$、$OC\perp BC$、$OC$ は円の半径 $r$ である。半角の公式から $$\displaystyle \tan^2\frac{\angle ABC}{2}=\frac{1-\cos\angle ABC}{1+\cos\angle ABC} =\frac{14}{16},\qquad \tan\frac{\angle ABC}{2}=\frac{\sqrt{14}}4,$$ （$0<\angle ABC<\pi$ なので正の平方根をとる）。したがって $$\displaystyle r=OC=BC\tan\frac{\angle ABC}{2}=6\sqrt2\cdot\frac{\sqrt{14}}4=3\sqrt7.$$ ゆえに $\boxed{\text{エ}}$ は選択肢 $7$ である。

以上の値を接線長の関係 $BD=BC$、比 $AB/BC=5/3$、および余弦定理に戻して確認すると、各条件と一致する。