II北里大学 2020年 2日目 数学 第II問解答・解説

各人が独立に3種類の手から等確率で1つを出すので、$m$ 人で1回じゃんけんをするときの手の出方は $3^m$ 通りで、いずれも同様に確からしい。全員が同じ手、または3種類すべての手が出たときはあいこで、誰も抜けない。ちょうど2種類の手が出たときは負けた手の人が抜ける。

(1) 4人の1回目では全部で $3^4=81$ 通りある。優勝者が決まるには、勝つ手を1人だけが出し、残り3人がその手に負ける手を出す必要がある。勝つ手は3通り、勝つ人は4通りなので、そのような出方は $3\cdot4=12$ 通りである。したがって $$\displaystyle P(\text{1回目に優勝者が決まる})=\frac{12}{81}=\frac4{27},$$ よって $\boxed{\text{オ}}$ は選択肢 $6$ である。

あいこは、全員同じ手となる3通りと、3種類すべての手が出る $3^4-3\cdot2^4+3=36$ 通りである。したがって $$\displaystyle P(\text{1回目があいこ})=\frac{3+36}{81}=\frac{13}{27},$$ よって $\boxed{\text{カ}}$ は選択肢 $7$ である。

(2) 各回の手の出方を数えると、残る人数の遷移確率は次の通りである。4人の場合、あいこは $39/81=13/27$、1人だけ残る出方は $12/81=4/27$、3人残る出方も $12/81=4/27$ であり、残り2人となる確率は残余の $18/81=2/9$ である。3人の場合は、あいこ、1人残る、2人残るがそれぞれ $1/3$。2人の場合は、あいこで2人が残る確率が $1/3$、1人が勝ち残る確率が $2/3$ である。

3回目をちょうど3人でするには、2回終了時に3人が残ればよい。そこに至るのは、1回目があいこで4人残り、2回目に3人残る場合、または1回目に3人残り、2回目があいこの場合である。各回は独立なので $$\displaystyle P(\text{2回終了時に3人})=\frac{13}{27}\cdot\frac4{27}+\frac4{27}\cdot\frac13 =\frac{52+36}{729}=\frac{88}{729}.$$ よって $\boxed{\text{キ}}$ は選択肢 $9$ である。

じゃんけんを3回以上するのは、2回終了時に1人だけになっていない場合である。1回目後に4人、3人、2人が残る確率はそれぞれ $13/27,4/27,2/9$。4人から2回目後に1人にならない確率は $1-4/27=23/27$、3人から2回目後に2人以上残る確率は $2/3$、2人から2回目後にも2人残る確率は $1/3$ である。したがって $$\displaystyle P(\text{3回以上})=\frac{13}{27}\cdot\frac{23}{27}+\frac4{27}\cdot\frac23+\frac29\cdot\frac13 =\frac{299+72+54}{729}=\frac{425}{729}.$$ よって $\boxed{\text{ク}}$ は選択肢 $8$ である。