21–25自治医科大学 2019年 数学 第21–25問解答・解説

曲線 $C:\ y=x^{2}$ について考える。曲線 $C$ 上の点 $P_{1}(p,p^{2})$（$p>0,\ p$ は実数）における接線と $x$ 軸との交点を $Q_{1}$ とし，点 $Q_{1}$ を通って $x$ 軸に垂直な直線と曲線 $C$ との交点を $P_{2}$，点 $P_{2}$ における曲線 $C$ の接線と $x$ 軸との交点を $Q_{2}$ と定める。その後も同じ操作を繰り返し，曲線 $C$ 上に点 $P_{1},P_{2},\ldots,P_{n},\ldots$，$x$ 軸上に点 $Q_{1},Q_{2},\ldots,Q_{n},\ldots$ をつくることとする。 A 点 $Q_{1},Q_{2},\ldots,Q_{n},\ldots$ の $x$ 座標をそれぞれ $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},\ldots$ と表記すると，数列 $\{x_{n}\}$ は初項 21，公比 22 の等比数列になる。 問題21：選択肢：ア $p$，カ $\displaystyle \frac{p}{2}$，サ $\displaystyle \frac{p}{3}$，タ $\displaystyle \frac{p}{4}$，ナ $\displaystyle \frac{p}{6}$，ハ $\displaystyle \frac{p}{8}$，マ $\displaystyle \frac{p}{10}$，ヤ $\displaystyle \frac{p}{12}$，ラ $\displaystyle \frac{p}{18}$，ワ $\displaystyle \frac{p}{24}$。 問題22：選択肢：ア $1$，カ $\displaystyle \frac{1}{2}$，サ $\displaystyle \frac{1}{3}$，タ $\displaystyle \frac{1}{4}$，ナ $\displaystyle \frac{1}{6}$，ハ $\displaystyle \frac{1}{8}$，マ $\displaystyle \frac{1}{10}$，ヤ $\displaystyle \frac{1}{12}$，ラ $\displaystyle \frac{1}{16}$，ワ $\displaystyle \frac{1}{24}$。 B 図形 $P_{n}Q_{n}P_{n+1}$ の面積 $S_{n}$ とは，接線 $P_{n}Q_{n}$，直線 $Q_{n}P_{n+1}$，曲線 $C$ の点 $P_{n}$ から点 $P_{n+1}$ までの曲線部分で囲まれた図形の面積を意味することとする。図形 $P_{1}Q_{1}P_{2},P_{2}Q_{2}P_{3},\ldots,P_{n}Q_{n}P_{n+1},\ldots$ の面積をそれぞれ $S_{1},S_{2},\ldots,S_{n},\ldots$ としたとき，数列 $\{S_{n}\}$ は初項 23，公比 24 の等比数列になる。 問題23：選択肢：ア $p^{3}$，カ $\displaystyle \frac{p^{3}}{2}$，サ $\displaystyle \frac{p^{3}}{4}$，タ $\displaystyle \frac{p^{3}}{8}$，ナ $\displaystyle \frac{p^{3}}{12}$，ハ $\displaystyle \frac{p^{3}}{16}$，マ $\displaystyle \frac{p^{3}}{20}$，ヤ $\displaystyle \frac{p^{3}}{24}$，ラ $\displaystyle \frac{p^{3}}{28}$，ワ $\displaystyle \frac{p^{3}}{32}$。 問題24：選択肢：ア $1$，カ $\displaystyle \frac{1}{2}$，サ $\displaystyle \frac{1}{3}$，タ $\displaystyle \frac{1}{4}$，ナ $\displaystyle \frac{1}{6}$，ハ $\displaystyle \frac{1}{8}$，マ $\displaystyle \frac{1}{10}$，ヤ $\displaystyle \frac{1}{12}$，ラ $\displaystyle \frac{1}{16}$，ワ $\displaystyle \frac{1}{24}$。 C 無限等比級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_{n}$ は収束し，その値は 25 となる。 問題25：選択肢：ア $p^{3}$，カ $\displaystyle \frac{p^{3}}{3}$，サ $\displaystyle \frac{p^{3}}{6}$，タ $\displaystyle \frac{p^{3}}{9}$，ナ $\displaystyle \frac{p^{3}}{12}$，ハ $\displaystyle \frac{p^{3}}{15}$，マ $\displaystyle \frac{p^{3}}{18}$，ヤ $\displaystyle \frac{p^{3}}{21}$，ラ $\displaystyle \frac{p^{3}}{24}$，ワ $\displaystyle \frac{p^{3}}{27}$。