2自治医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$x=\log_a b,\ y=\log_b c,\ z=\log_c a$ とおく。底の変換公式から $xyz=1$ であり、与えられた2式は $x+y+z=5$、$1/x+1/y+1/z=17/4$ である。したがって $xy+yz+zx=17/4$。 対称和を $p=x+y+z,\ q=xy+yz+zx,\ r=xyz$ とおくと、展開により $x^2+y^2+z^2=p^2-2q$、$x^3+y^3+z^3=p^3-3pq+3r$ である。また、$(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-pt^2+qt-r$ に $t=x,y,z$ を代入してそれぞれ $x^4=px^3-qx^2+rx$ などを得て足し合わせると、$$x^4+y^4+z^4=p(x^3+y^3+z^3)-q(x^2+y^2+z^2)+rp.$$ よって $p=5,\ q=17/4,\ r=1$ を代入して、$$\displaystyle x^2+y^2+z^2=25-\frac{17}{2}=\frac{33}{2},\qquad x^3+y^3+z^3=125-\frac{255}{4}+3=\frac{257}{4},$$ $$\displaystyle x^4+y^4+z^4=5\cdot\frac{257}{4}-\frac{17}{4}\cdot\frac{33}{2}+5=\frac{2049}{8}.$$ したがって求める値は $\displaystyle \dfrac{8}{683}\cdot\dfrac{2049}{8}=3$ であり、選択肢はタである。