9自治医科大学 2019年 数学 第9問解答・解説

余弦定理を角 $A$ と角 $C$ に用いる。まず、辺の長さが $AB=b+1,\ BC=a(b+1),\ CA=a$ であることから $$\displaystyle \cos A=\frac{(b+1)^2+a^2-a^2(b+1)^2}{2a(b+1)}=-\frac1a$$ となる。整理すると $$a^2b(b+2)=(b+1)(b+3). \tag{1}$$ また、角 $C$ については $$\displaystyle \cos C=\frac{a^2(b+1)^2+a^2-(b+1)^2}{2a^2(b+1)}=\frac{b}{a^2}$$ より $$a^2(b^2+2b+2)=(b+1)(3b+1). \tag{2}$$ (1)、(2)から $a^2$ を等しくし、$b>0$ より $b+1$ を約して $$\displaystyle \frac{b+3}{b(b+2)}=\frac{3b+1}{b^2+2b+2}.$$ 分母は正なので交差に掛けると $$(b+3)(b^2+2b+2)=b(b+2)(3b+1),$$ すなわち $2(b+1)(b^2-3)=0$ である。$b>0$ だから $b=\sqrt3$。これを (1) に代入すると $$\displaystyle a^2=\frac{(\sqrt3+1)(\sqrt3+3)}{\sqrt3(\sqrt3+2)}=2.$$ したがって $a^2-b^2=2-3=-1\ne0$ であり、求める値は $$\displaystyle \left|\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\right|=\left|\frac{2+3}{2-3}\right|=5.$$ なお、$a=\sqrt2,\ b=\sqrt3$ のとき辺は $AB=\sqrt3+1,\ BC=\sqrt2(\sqrt3+1),\ CA=\sqrt2$ で三角形不等式を満たし、余弦定理から $\cos A=-1/\sqrt2=-1/a,\ \cos C=\sqrt3/2=b/a^2$ となるため、条件にも合う。