自治医科大学 2019年数学第15問解答・解説

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1問題

自治医科大学2019年度第15問

数列 $\{a_{n}\}$ は， $a_{1}=1,\ a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+25n+5$ （ $n$ は自然数）を満たしている。 $\displaystyle S_{n}=\sum\limits _{k=1}^{n}a_{k}$ であるとき， $S_{n}-2a_{n}$ を最小にする $n$ を $P$ とする。 $|P-20|$ の値を求めよ。選択肢：ア $0$ ，カ $1$ ，サ $2$ ，タ $3$ ，ナ $4$ ，ハ $5$ ，マ $6$ ，ヤ $7$ ，ラ $8$ ，ワ $9$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

目的の数列の隣接項の差を漸化式で直接求め、その符号変化から最小となる添字を決める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

マ 6

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$T_n=S_n-2a_n$ とおく。 $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ だから $T_{n+1}-T_n=(S_n+a_{n+1}-2a_{n+1})-(S_n-2a_n)=2a_n-a_{n+1}.$ 漸化式を代入すると $T_{n+1}-T_n=2a_n-(2a_n-n^2+25n+5)=n^2-25n-5.$ $1\leq n\leq25$ では $n^2-25n-5=n(n-25)-5<0$ なので $T_{n+1}<T_n$ 。一方， $n\geq26$ では $n(n-25)\geq26>5$ より $T_{n+1}-T_n>0$ である。したがって $T_n$ は $n=1$ から $26$ まで減少し，その後増加するので，最小となるのは $P=26$ である。ゆえに $|P-20|=|26-20|=6$ であり，選択肢はマである。

この問題で使う考え方

漸化式
総和記号と数列の和
二次不等式とグラフ

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